円の面積の三等分に移る前に、鉢型曲線の面積と弧長について考えます。

　固定円の半径が1のとき，ｎ尖点エピサイクロイドとｎ尖点ハイポサイクロイドの間の鉢形曲線は歯車の歯型曲線の設計に用いられます．その周長と面積は

　　Ｌ={(8n+1)+(8n-1)}/n=16

　　Ｓ={(n+1)(n+2)-(n-1)(n-2)}/n・π=６π

ともに，サイクロイド (L=8, S=3π)の２倍になっています．

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サイクロイドの性質はエピサイクロイド・ハイポサイクロイドにも遺伝するというわけですが，カージオイドは対応するハイポサイクロイドをもたないため（周長１６Ｒ，面積６πＲ^2）になると考えられるのです．

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上図に2つの円を書き足します。

ひとつは回転円の包絡線となる半径３の円（面積９π）

もう一つはカージオイドの尖点とカージオイドの尖点の対蹠点を直径と半径２の円（面積4）

このとき

[1]半径３の円からカージオイドをくりぬいた後に残る月形

[2]半径２の円から固定円をくりぬいた後に残る月形

[3]カージオイドから半径２の円をくりぬいた後に残る月形＋固定円

の面積は等しく、円が三等分されていることがわかります。

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