【１】サイクロイドの面積と弧長

固定した直線上を円が滑らずに転がるとき，回転円の周上の固定点のなす軌跡がサイクロイドです．自転車のタイヤを転がせばタイヤの上の１点はサイクロイドを描きます．

古代ギリシャの人々は固定円上の回転円を使って惑星の軌道を説明しました．しかし，円周の代わりに直線上を移動させることはギリシャ人から関心を示されることはありませんでした ．かくして，サイクロイドは長い間忘れ去られた曲線であったのですが，円と直線のごく自然な組み合わせからなり， (直線や円の次に)最も自然な曲線として，1599年，ガリレオによってサイクロイドという名前が与えられました．17世紀初め，サイクロイドが囲む面積の計算は当時の偉大な数学者たちの関心の的であり，中心的な問題でもあったとのことです．

答えを先にいうと，サイクロイド弧が囲む面積は３πｒ^2（回転円の面積の３倍に等しい），弧長は８ｒ（回転円に外接する正方形の周に等しい）になります．当のガリレオはサイクロイドが囲む面積が回転円の面積のちょうど３倍になることを発見することはできなかったといわれていますが，区分求積法を使えば答えを知ることができます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝