ｎ乗して初めて１になる複素数を１の原始ｎ乗根という．

　　ζ＝ｃｏｓ（２π／１７）＋ｉｓｉｎ（２π／１７）

　　ζk＝ｃｏｓ（２ｋπ／１７）＋ｉｓｉｎ（２ｋπ／１７）

とおくと，ｋはｎと共通因子をもたないｎより小さい正の整数で，ｎが素数ならば

　　ｋ＝１，２，３，・・・，ｎ−１

をとることができる．

　そこで，たとえばφ＝ζ3とおくと

　　φ^2＝ζ9，φ^3＝ζ10，φ^4＝ζ13，φ^5＝ζ5，φ^6＝ζ15

　　φ^7＝ζ11，φ^8＝ζ16，φ^9＝ζ14，φ^10＝ζ5，φ^11＝ζ7

　　φ^12＝ζ4，φ^13＝ζ12，φ^14＝ζ2，φ^15＝ζ6，φ^16＝ζ1

となって，

　　ＡｕｔＱ（ζ）＝｛φ，φ^2，・・・，φ^16｝

となる．

　この例ではζ3が特別な働きをしたが，これは３^n−１が１７で割り切れる最小の正の整数がｎ＝１６であることと関係している．

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→３は法１７に関する原始根である．（１０も法１７に関する原始根である．）

→３は法７に関する原始根である．（５も法７に関する原始根である．）

原始根はいくつあるのだろうか？

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(ｍ、φ(p))＝１の場合、φ(φ（ｐ））個

ｐ＝7の場合、φ(6)=2である。→ｍ＝3と5の2つ

(ｍ、φ(p))＝ｄ＞１の場合、位数がＴ=φ(p)/ｄのものはφ(Ｔ）個

ｐ＝17の場合、φ(16)=4である。

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素数ｐを法とする整数ｍの位数Tmについて

ｍ^Tm＝１　　（modｐ）

Tm＝φ(p)/ｄ

となる。

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