【５】２^m元ガロア体の原始多項式

ｍ＝４の場合はπ(x)=1+x+x^4を用いたが、

ｍ＝２の場合、π(x)=1+x+x^2

ｍ＝３の場合、π(x)=1+x+x^3

ｍ＝４の場合、π(x)=1+x+x^4

ｍ＝５の場合、π(x)=1+x^2+x^5

ｍ＝６の場合、π(x)=1+x+x^6

を用いることによって実現される。

1+x+x^5はGF(2)上で既約ではなく、(1+x^2+x^3)(1+x+x^2)と因数分解される

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ｍの場合の原始多項式は

φ(p^m-１）/ｍ個

存在する。

ｍ＝２のとき、φ(3)/2=1

ｍ＝３のとき、φ(7)/3=2

ｍ＝４のとき、φ(15)/4

　φ（１５）＝φ（３）φ（５）＝８より

ｍ＝４のとき、φ(15)/4＝2・・・（1+x+x^4と1+x^3+x^4)

1+x+x^2+x^3+x~4は既約多項式であるが、原始元をもたないので原始多項式ではない

原始多項式でない既約多項式はn(1+x+x^2+x^3+x~4)(1+x)=1+x^5

ｍ＝５のとき、φ(31)/5＝30/5＝6

ｍ＝５の場合、φ(2^5-１）/5=6個nの異なる原始多項式が存在する。

π(x)=1+x^2+x^5

π(x)=1+x^3+x^5

π(x)=1+x+x^2+x^3+x^5

π(x)=1+x^2+x^3+x^4+x^5

π(x)=1+x+x^2+x^4+x^5

π(x)=1+x+x^3+x^4+x^5

ｍ＝６のとき、φ(63)/6

　φ（６３）＝φ（７）φ（９）＝３６より

φ(36)/6＝6

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ｍ｜φ(p^m-１）

は任意のｍに対して成り立つ、トーション関数の奇妙だが重要な性質である。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝