任意に選ばれた整数が、素数ｐで割り切れる確率は１/ｐであり、素数ｐで割り切れない確率は１−１/ｐである。

異なる素数で割り切れることが独立した性質であると仮定すると、ｘがそれより小さいどんな素数によっても割り切れない確率は

　　w(x)〜(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)・・・〜Π(1-1/pi)

で与えられる。

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lnW(x)〜Σ(1-1/pi)

とくに大きな素数に対しては

lnW(x)〜-Σ1/pi

素数についての和を、ｘより小さいすべての整数の和の変換するために

lnW(x)〜-ΣW(n)/n〜-∫W(n)dn/n

素数間の平均距離A(x)=1/W(x)を導入すると

lnA(x)〜-∫dn/nA(n)

A'(x)/A(x)〜1/xA(x)

A'(x)〜1/x

A(x)〜ln(x)

したがって、素数の平均密度は

W(x)〜1/ln(x)

となる。

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