x^2+1は体C上では(x+i)(x-i)と因数分解できるが、体Q上では既約である。

おもしろいことに有限体GF(2)上では

x^2+1=x^2+2x+1=(x+1)^2のように因数分解できる。

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【５】２^m元ガロア体の原始多項式

ｍ＝４の場合はπ(x)=1+x+x^4を用いたが、

ｍ＝２の場合、π(x)=1+x+x^2

ｍ＝３の場合、π(x)=1+x+x^3

ｍ＝４の場合、π(x)=1+x+x^4

ｍ＝５の場合、π(x)=1+x^2+x^5

ｍ＝６の場合、π(x)=1+x+x^6

を用いることによって実現される。

1+x+x^5はGF(2)上で既約ではなく、(1+x^2+x^3)(1+x+x^2)と因数分解される

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ｍの場合の原始多項式は

φ(p^m-１）/ｍ個

存在する。

ｍ＝４のとき、φ(15)/4＝2・・・（1+x+x^4と1+x^3+x^4)

1+x+x^2+x^3+x^4は既約多項式であるが、原始元をもたないので原始多項式ではない

原始多項式でない既約多項式はn(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x)=1+x^5

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