ζ（ｓ）の零点がｓ＝１／２に乗っているという仮定の下に

　　π（ｘ）＝ｌｉ（ｘ）＋Ｏ（ｘ^1/2ｌｎｘ）

がコッホ同値条件（１９０１年）である．

　もう少し精緻化すると，２６５７以上のすべてのｘについて，

　　｜π（ｘ）−Ｌｉ（ｘ）｜≦Ｃ・ｘ^1/2ｌｏｇｘ

　　Ｃ＝１／８π

が成り立つことと論理的に同等です．

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　約数の個数関数ｄ(k)の平均値の漸近挙動について，ディリクレは

　　1/nΣｄ(k)〜ln(n)-2γ+1

を示しました．

　　1/25Σｄ(k)=3.48　→　ディリクレの評価はln(25)-2γ+1=3.37

　　1/50Σｄ(k)=4.14　→　ディリクレの評価はln(50)-2γ+1=4.07

　　1/100Σｄ(k)=4.82　→　ディリクレの評価はln(100)-2γ+1=4.76

　ｄ（ｎ）でｎの約数の個数を表せば，

　　Ｄ（ｎ）＝Σｄ（ｎ）＋ｘｌｎｘ＋（２γ−１）＋Δ（ｘ）

　ディリクレ自身の誤差評価はΔ（ｘ）＝Ｏ（ｘ^1/2）であったが，ボロノイの結果は

　　Δ（ｘ）＝Ｏ（ｘ^1/3ｌｎｘ）

で，ディリクレの評価を本質的の凌駕するものであった．

　現在知られている最良の評価はハクスリーによるもので，

　　Δ（ｘ）＝Ｏ（ｘ^23/73ｌｎ^461/146ｘ）

で，ボロノイの結果から

　　１／３−２３／７３＝＝４／２１９＝０．０１８２６・・・

すなわち６％にも達していない．

　なお，ハーディーによって，

　　Δ（ｘ）＝Ｏ（ｘ^θ），θ≧１／４

であろうと予想されている．

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