x^2+1は体C上では(x+i)(x-i)と因数分解できるが、体Qうえでは既約である。

おもしろいことに有限体GF(2)上では

x^2+1=x^2+2x+1=(x+1)^2のように因数分解できる。

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【４】１６元ガロア体の生成

ここでは、既約多項式π(x)=1+x+x^4と原始元α=(0,1,0,0)=xを利用して位数16の有限体を生成したい。

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1+x+x^4を法とする剰余簡約では、1の要素αから始め、次にα=xをかけるので、1が右から消えるとき、一番左側の2つの位置に2を法として1を加えることに対応している

すなわち、

(0,0,0,0)=0

(1,0,0,0)=1

(0,1,0,0)=x

(0,0,1,0)=x^2

(0,0,0,1)=x^3

(1,1,0,0)=1+x

(0,1,1,0)=x+x^2

(0,0,1,1)=x^2+x^3

(1,1,0,1)=1+x+x^3

(1,0,1,0)=1+x^2

(0,1,0,1)=x+x^3

(1,1,1,0)=1+x+x^2

(0,1,1,1)=x+x^2+x^3

(1,1,1,1)=1+x+x^2+x3

(1,0,1,1)=1+x^2+x^3

(1,0,0,1)=1+x^3

(1,0,0,0)=1

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【５】２^m元ガロア体の原始多項式

ｍ＝４の場合はπ(x)=1+x+x^4を用いたが、

ｍ＝２の場合、π(x)=1+x+x^2

ｍ＝３の場合、π(x)=1+x+x^3

ｍ＝４の場合、π(x)=1+x+x^4

ｍ＝５の場合、π(x)=1+x^2+x^5

ｍ＝６の場合、π(x)=1+x+x^6

を用いることによって実現される。

1+x+x^5はGF(2)上で既約ではなく、(1+x^2+x^3)(1+x+x^2)と因数分解される

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ｍの場合の原始多項式は

φ(p^m-１）/ｍ個

存在する。

ｍ＝５の場合、φ(2^5-１）/5=6個nの異なる原始多項式が存在する。

π(x)=1+x^2+x^5

π(x)=1+x^3+x^5

π(x)=1+x+x^2+x^3+x^5

π(x)=1+x^2+x^3+x^4+x^5

π(x)=1+x+x^2+x^4+x^5

π(x)=1+x+x^3+x^4+x^5

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　φ（ｍ）は，ｍと互いに素であり，ｍより小さい整数ｒ，１≦ｒ＜ｍの個数として定義される．すなわち，φ（ｍ）は１からｍ−１までの整数のうち，ｍと公約数をもたない数はいくつあるかを数えた数を表す．

　ｍ＝９→１，２，４，５，７，８→φ（９）＝６

　ｍ＝１０→１，３，７，９→φ（１０）＝４

　φ（１）＝１，φ（２）＝１，φ（３）＝２，φ（４）＝２

　φ（５）＝４，φ（６）＝２，φ（７）＝６，φ（８）＝４

　φ（９）＝６，φ（１０）＝４，

　φ（ｐ）＝ｐ−１

　φ（ｐ^a）＝（ｐ−１）ｐ^(a-1)＝ｐ^a（１−１／ｐ）

　φ（ｍ）＝ｍΠ（１−１／ｐi）

　φ（１０）＝１０（１−１／２）（１−１／５）＝４

ｍ＝２のとき、φ(3)/2=1

ｍ＝３のとき、φ(7)/3=2

ｍ＝４のとき、φ(15)/4

　φ（１５）＝φ（３）φ（５）＝８より

ｍ＝４のとき、φ(15)/4＝2・・・（1+x+x^4と1+x^3+x^4)

1+x+x^2+x^3+x~4は既約多項式であるが、原始元をもたないので原始多項式ではない

原始多項式でない既約多項式はn(1+x+x^2+x^3+x~4)(1+x)=1+x^5

ｍ＝５のとき、φ(31)/5＝30/5＝6

ｍ＝６のとき、φ(63)/6

　φ（６３）＝φ（７）φ（９）＝３６より

φ(36)/6＝6

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［Ｑ］ディリクレの算術級数定理（１８３７年）

　　数列｛ａ＋ｎｄ｝，ａとｏｄは互いの素

のなかに素数は無限に存在する．

　そして，有名な素数定理（ＰＴ）は，漸近分布の形で

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

と表すことができます．素数は無限個存在し，そして等差数列｛ａ＋ｋｎ｝にも素数は無限に含まれるのですが，素数ｐでａ＋ｋｎの形のものの分布問題がディリクレの算術級数定理です．

　　π（ｘ；ａ，ｎ）〜Ｃ・ｘ／ｌｏｇｘ　　　Ｃ＝１／φ（ｎ）

　算術級数定理は素数定理を精密化したもので，初項ａの取り方にはよらないのですが，ここで，オイラーの関数φ（ｎ）は１からｎ−１までの整数のうち，ｎと互いに素になるものの個数

　　φ（ｎ）＝＃（Ｚ／ｎＺ）

として定義されます．たとえば，ｎ＝７の場合，１，２，３，４，５，６なのでφ（７）＝６，ｎ＝１０の場合１，３，７，９がそうなのでφ（１０）＝４となります．

　１７６０年頃，オイラーは，数ｎが素因数ｐ，ｑ，ｒ，・・・をもつときに，それらの重複度にかかわらず，

　　φ（ｎ）＝ｎ（１−１／ｐ）（１−１／ｑ）（１−１／ｒ）・・・

であることを示しました．この原理は「エラトステネスのふるい」によっているのですが，たとえば，１０＝２・５，４４＝２^2・１１，１００＝２^2・５^2より，

　　φ（１０）＝１０（１−１／２）（１−１／５）＝４

　　φ（４４）＝４４（１−１／２）（１−１／１１）＝２０

　　φ（１００）＝１００（１−１／２）（１−１／５）＝４０

また，任意の素数ｐに対して，

　　φ（ｐ^n）＝ｐ^n（１−１／ｐ）

したがって，

　　φ（ｐ）＝ｐ（１−１／ｐ）＝ｐ−１

となります．

　なお，算術級数定理の証明にはディリクレのＬ関数

　　Ｌ（ｓ，χ）＝Π（１−χ（ｐ）ｐ^(-s)）^(-1)

　　　　χは乗法群（Ｚ／ｎＺ）の１次元表現

が用いられます．

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φ（１５）＝φ（３）φ（５）＝８＝１５（１-１/３）（１-１/５）＝８

φ（６３）＝φ（７）φ（９）＝３６＝６３（１-１/３）（１-１/７）＝３６

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