【１】１０を法とするエラトステネスのふるい

整数の集合を１０列に並べてみたところ，双子素数は（３，５），（５，７），（１１，１３），（１７，１９），（２９，３１），（４１，４３），（５９，６１），（７１，７３）の８組あることが確認できたが，列方向に注目すると，4列目，6列目，8列目と１０列目には素数がないことがわかる．２列目と５列目では最初の項を除けば素数がないことがわかるだろう．２と５以外の素数はすべて1列目，３列目，７列目と９列目にまとまっているのであるが，とくに５列目には

　　３，１３，２３

という素数の等差数列が見られる．

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【２】１０を法とするエラトステネスのふるい 次に，整数の集合を２×３＝６列に並べてみる．

非素数を除去すると

　　　０２　０３　　　　０５　　　

０７　　　　　　　　　　１１　　　

１３　　　　　　　　　　１７　　　

１９　　　　　　　　　　２３　　　

　　　　　　　　　　　　２９　　　

３１　　　　　　　　　　　　　　　

３７　　　　　　　　　　４１　　　

４３　　　　　　　　　　４７　　　

　　　　　　　　　　　　５３　　　

　　　　　　　　　　　　５９　　　

６１　　　　　　　　　　　　　　　

６７　　　　　　　　　　７１　　　

７３　　　　　　　　　　　　　　　

７９　　　　　　　　　　８３　　　

　　　　　　　　　　　　８９　　　

９７　　　　　　　　　　　　　　　

4列目と6列目には素数がないことがわかる．２列目と３列目では最初の項を除けば素数がないことがわかるだろう．２と３以外の素数はすべて1列目と5列目にまとまっているのであるが，とくに５列目には

　　５，１１，１７，２３，２９

という素数の等差数列が見られる．

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このようにして，素数等差数列を得ることができる．セメレディの定理（１９７５年）によると，ある集合の密度が０でなければどのような長さの等差数列もその集合の中に含まれるのである．

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