【３】１６元ガロア体

(0,0,0,0)

(1,0,0,0)

(0,1,0,0)

(1,1,0,0)

(0,0,1,0)

・・・・・

(1,1,1,1)

は左が最下位ビットになるようにとられている0〜15までの2進数列で書かれている。

加算は2を法として桁上げがない加算として定義される

(1,1,0,0)+(1,1,1,1)=((0,0,1,1)

乗算は要素を多項式の対応させ、

(1,1,0,0)→x^0+x^1+0+0=1+x

(0,1,0,1)→0+x^1+0+x^3=x+x^3

与えられた既約多項式π(x)を法とする多項式の乗算として定義される。

たとえば、π(x)=1+x+x^4とすると

(1,1,0,1)→x^0+x^1+0+x^3=1+x+x^3

(1,0,0,1)→x^0+0+0+x^3=1+x^3

π(x)=1+x+x^4とすると

(1,1,0,1)・(1,0,0,1)=1+x+2x^3+x^4+x^6=1+x+x^4+x^6

x^4を1+xで置き換えると

1+x+x^4+x^6=1+x+1+x+x^2+(1+x)=2+2x+x^2+x^2=x^2+x^3=(0,0,1,1)

より、

(1,1,0,1)・(1,0,0,1)=(0,0,1,1)を得る。

既約多項式はπ(x)=1+x+x^4のほかに

π(x)=1+x^3+x^4

π(x)=1+x+x^2+x^3+x^4

が存在する

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