フィボナッチ数列

　a0=0,a1=1

an=an-1+an-2 (n≧2)

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f(x)=Σanx^n=a0+a1x+Σanx^n (n≧2)

=a0+a1x+xΣan-1x^n-1+x^2Σan-2x^n-2 (n≧2)

=a0+a1x+x{f(x)-a0}+x^2f(x)

=0+x+x{f(x)-0}+x^2f(x)

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f(x)=(x)/(1-x-x^2)=(1/√5)/(1-αx)-(1/√5)/(1-βx)

α=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2

an=1/√5・{α^n-β^n}

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　隣り合う２項の和が次の項となる数列はフィボナッチ数列の名で有名ですが，フィボナッチ数列｛Ｆn｝の通常型母関数ｆ（ｘ）は

　　　　ｆ（ｘ）＝Ｆ0＋Ｆ1ｘ＋Ｆ2ｘ^2＋Ｆ3ｘ^3＋・・・

　　　ｘｆ（ｘ）＝　　　Ｆ0ｘ＋Ｆ1ｘ^2＋Ｆ2ｘ^3＋・・・

　　ｘ^2ｆ（ｘ）＝　　　　　　　Ｆ0ｘ^2＋Ｆ1ｘ^3＋・・・

また，Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2より

　　ｆ（ｘ）＝ｘ／（１−ｘ−ｘ^2）＝ΣＦnｘ^n

と簡単な式になります．

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