［Ｑ］ｇn＝（ｇn-1）^2−２，ｇ0＝４の一般項を求めよ．

［Ａ］ここでは足して４，かけて１となる2数

ω1ω2＝１，ω1＋ω2＝４

を考えるが，この場合，

　　ω1＝２＋√３，ω2＝２−√３

となって，

　　ｇn＝ω1^(2^n)＋ω2^(2^n)

が得られることを帰納法により証明しておきたい．

［１］ｎ＝０，ｇ0＝ω1＋ω2＝４

［２］ｇn＝ω1^(2^n)＋ω2^(2^n)が正しいとすると，

　（ｇn）^2−２＝（ω1^(2^n)＋ω2^(2^n)）^2−２

＝ω1^(2^n+1)＋ω2^(2^n+1)＋２（ω1ω1）^(2^n)−２

＝ω1^(2^n+1)＋ω2^(2^n+1)＝ｇn+1

２（ω1ω2）^(2^n)−２＝０

でなければならないので，−２は必須である．

ｇn＝（ｇn-1）^2＋１，ｇn＝（ｇn-2）^2＋２

では，この手は使えないのである．

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［Ｑ］ｇ0＝ｍ，ｍは２より大きい整数とする．このとき

　　　ｇn＝（ｇn-1）^2−２,

の一般項を求めよ．

［Ａ］ω1ω2＝１，ω1＋ω2＝ｍを満たさなければならず，判別式

　　Ｄ＝ｍ^2−４≧０→ｍ≧２

でなければならない．

α＋１／α＝ｍ，α＞１とすると，帰納法より

　　ｇn＝α^(2^n)＋α^-(2^n)

これはｇn＝［α^(2^n)］と等価である．

　たとえば，ｍ＝３のとき，

　　α＋１／α＝３

　　α^2−３α＋１＝０，α＝（３＋√５）／２＝φ^2

　　ｇn＝［φ^(2^n+1)］

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一方，α＝２のとき，ｇn＝［α^(2^n)］はフェルマー数になる．

　　α＋１／α＝５／２＝ｍ→ｍ＝５／２とすればよい．

　　α^2−５／２α＋１＝０，

　　２α^2−５α＋２＝０，（α−２）（２α−１）＝０

　ｇ0＝５／２＝２．５

　ｇn＝（ｇn-1）^2−２,

　ｇ1＝２５／４−２＝１７／４＝４．２５

　ｇ2＝２８９／１６−２＝２５７／１６＝１６．０６２５

　ｇ3＝２８９／１６−２＝６６０４９／２５６−２＝６５５３７／２５６

＝２５６．００３９

　一般に，

　　ｇn＝｛２^(2^n+1)＋１｝／２^(2^n)

となるが，これを切り上げるとフェルマー数２^(2^n)＋１となる．

フェルマー数：　Ｆn＝２^(2^n)＋１

は，簡単な漸化式

　　Ｆn+1＝（Ｆn−１）^2＋１

　　Ｆn+1−２＝Ｆn（Ｆn−２）

　　Ｆn−２＝Ｆ0Ｆ1・・・Ｆn-1

を満たしている．

　　Ｆn+1＝（Ｆn−１）^2＋１

と

　　Ｓn＝（Ｓn-1）^2−２

の類似性に注意．Ｓnも２重指数で与えられる数になるのである．

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