ｎ^3と（ｎ＋１）^3−１の間には常に素数が１個存在する

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　１９４７年，ミルズはある定数Ａが存在し，すべてのｎに対して素数だけしか与えない公式

　　ｐn＝［Ａ^3^n］

を示した．

　　１．３０６３７７８８３８６３＜Ａ＜１．３０６３７７８８３８６９

　　ｐ1＝２，ｐ2＝１１，ｐ3＝１３６１，ｐ4＝２５２１００８８８７

　この公式ですべての素数を生み出せるわけではないが，任意の大きな素数を得ることができるようになった．

　ミルズは，定数Ａを作るために，十分大きなｎに対してｎ^3と（ｎ＋１）^3−１の間には常に素数が１個存在するという事実を利用した．実はこの式から作り出されるすべての素数は定数Ａのなかにそっと埋め込まれている．すなわち，この式では定数Ａをｐnからある種の姑息な方法で計算して決めているため，本当の閉じた式であるとは考えにくい．

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一見不可能のように思えるが，実はこの式から作り出されるすべての素数は定数Ａのなかにそっと埋め込まれている．定数Ａを決定するには素数に関する予備知識が必要になるが，予備知識なしでもわかるように「埋め込み」をたとえ話で説明すると，定数Ａは素数が陽に埋め込まれた実数の定数

　　Ｂ＝０．２０３０００５０００００００７００００００００００００００１１０・・・

のようなものである．

　この数に１０を掛けて整数の部分を取り出すと最初の素数２が取り出される．次に，１００を掛けて整数の部分を取り出すと２番目の素数３が取り出される．一般に，ｎ番目の素数が取り出された後，１０^2^nを掛けて整数の部分を取り出すとｎ＋１番目の素数が取り出される．いいかえれば，定数Ｂの中に埋め込まれていない素数を生成することはできないというわけである．

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