「ｍ角数定理」とは「すべての自然数はたかだかｍ個のｍ角数で表せる」というものです．この定理で，ｍ＝３の場合がガウスの定理「ｎ＝△＋△＋△」，ｍ＝４の場合がラグランジュの定理「ｎ＝□＋□＋□＋□」に相当します．ｍ＝５の場合が五角数定理「ｎ＝☆＋☆＋☆＋☆＋☆」の相当するわけですが，フェルマーが遺して後世を悩ましていたこの命題は，オイラー，ラグランジュ，ルジャンドルなどの研究を経て，１８１３年，コーシーが証明しセンセーションを巻き起こしました．

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任意の整数ｍ=・・・の右辺をm1^2+m2^2+m3^2+m4^2の形に表すことはできないだろうか？

三角数１／２・ｎ・｛ｎ＋１｝

四角数１／２・ｎ・｛２ｎ＋０｝＝ｎ^2

五角数１／２・ｎ・｛３ｎ−１｝

六角数１／２・ｎ・｛４ｎ−２｝＝ｎ（２ｎ−１）

七角数１／２・ｎ・｛５ｎ−３｝

八角数１／２・ｎ・｛６ｎ−４｝＝ｎ（３ｎ−２）

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たとえば、六角数の場合、

N=i(2i-1)+j(2j-1)+k(2k-1)+l(2l-1)+m(2m-1)+n(2n-1)

N+i+j+k+l+m+n=2i^2+2j^2+2k^2+2l^2+2m^2+2n^2

しかし、これをm1^2+m2^2+m3^2+m4^2の形に表すことは難しい

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ｘ^6＋ｙ^6＋ｚ^6＋ｕ^6＋ｖ^6＋ｗ^6−６ｘｙｚｕｖｗ

＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）／２・｛（ｙ^2−ｚ^2）^2＋（ｚ^2−ｘ^2）^2＋（ｘ^2−ｙ^2）^2｝＋（ｕ^2＋ｖ^2＋ｗ^2）／２・｛（ｖ^2−ｗ^2）^2＋（ｗ^2−ｕ^2）^2＋（ｕ^2−ｖ^2）^2｝＋３（ｘｙｚ−ｕｖｗ）^2

を使っても解けそうにない．

ｘ^6＋ｙ^6＋ｚ^6＋ｕ^6＋ｖ^6＋ｗ^6

＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）／２・｛（ｙ^2−ｚ^2）^2＋（ｚ^2−ｘ^2）^2＋（ｘ^2−ｙ^2）^2｝＋（ｕ^2＋ｖ^2＋ｗ^2）／２・｛（ｖ^2−ｗ^2）^2＋（ｗ^2−ｕ^2）^2＋（ｕ^2−ｖ^2）^2｝＋３（ｘｙｚ）^2＋３（ｕｖｗ）^2

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上の式は

ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ＝（ａ−ｂ）^2

ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝／２

ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ＝（ａ^2−ｂ^2）^2＋（ｃ^2−ｄ^2）^2＋２（ａｂ−ｃｄ）^2

の拡張である。

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