【１】２平方和定理（フェルマーの定理）

　特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，

　　５＝１^2＋２^2，

　　１３＝２^2＋３^2，

　　１７＝１^2＋４^2，

　　２９＝２^2＋５^2，

　このように，４で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2となる自然数が存在します．

　４で割ったときの余りは，その数の最後の２桁にのみ依存していますから，素数１６５６１は２つの平方数の和であることがわかります．実際，

　　１６５６１＝１００^2＋８１^2

しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．

　この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています（フェルマー・オイラーの定理）．

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