五角数や六角数のようなさらに高次のｎ角数も同様に定義される。

たとえば、五角数はｎ(3n-1)/2

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１から始まる等差数列の最初のｎ項を足すと，いろいろな多角数が得られる．

　　１＋１＋１＋１＋１＋・・・からは自然数が得られる：１，２，３，４，５，・・・

　１＋２＋３＋４＋５＋・・・からは三角数が得られる：１，３，６，１０，１５，・・・

　１＋３＋５＋７＋１１＋・・・からは四角数が得られる：１，４，９，１６，２５，・・・

　１＋４＋７＋１０＋１３＋・・・からは五角数が得られる：１，５，１２，２２，３５，・・・

　１＋５＋９＋１３＋１７＋・・・からは六角数が得られる：１，６，１５，２８，４５，・・・』

　一般に，ｍ角数の第ｎ項は，多角形の辺数ｍは公差よりも２だけ大きいことから，初項１，公差ｍ−２の等差数列の和：

　　１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝

で与えられることがわかります．

　１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝の形の自然数をｍ角数といいます．すなわち，三角数△nとはｎ（ｎ＋１）／２，四角数□nとはｎ^2の形の自然数，すなわち平方数です．また，五角数☆nはｎ（３ｎ−１）／２で表されます．

　多角数という名前はそれぞれの図形の点の配置に由来するもので，ピタゴラスらが興味をもった図形数ですから，代数的にではなく図形的に考えてみることにしましょう．そうすると，ｎ−１番目の三角数をΔn-1＝（ｎ−１）ｎ／２とすると，多角形にΔn-1個の点からなる三角形を追加して作ることができるわけですから

　　ｎ＋（ｍ−２）Δn-1＝１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝

とも考えることができるのです．

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【１】ｍ角数定理

　さて，「五角数定理」とは「すべての自然数はたかだか五個の五角数で表せる」というものです．

　「ｍ角数定理」とは「すべての自然数はたかだかｍ個のｍ角数で表せる」というものです．この定理で，ｍ＝３の場合がガウスの定理「ｎ＝△＋△＋△」，ｍ＝４の場合がラグランジュの定理「ｎ＝□＋□＋□＋□」に相当します．ｍ＝５の場合が五角数定理「ｎ＝☆＋☆＋☆＋☆＋☆」の相当するわけですが，フェルマーが遺して後世を悩ましていたこの命題は，オイラー，ラグランジュ，ルジャンドルなどの研究を経て，１８１３年，コーシーが証明しセンセーションを巻き起こしました．

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