［２］完全擬素数（カーマイケル数）

　３４１は２を底とする最小の擬素数でしたが，どんな底に対しても，ｎと互いに素であるすべてのａに対して

　　　ａ^n＝ａ　　　（ｍｏｄ　ｎ）

が成り立つ合成数ｎのこと．最小のカーマイケル数は５６１．

１９１２年，カーマイケルは，５６１が完全擬素数であることを示しました．ｂ＝２からｂ＝５５９まで

　　ｂ^561＝ｂ　　　（ｍｏｄ　５６１）

が成り立つことを確かめたのです．

５６１＝３・１１・１７

ｂ^561−ｂが５６１で割り切れることを示すためには，３，１１，１７で割り切れることを示さなければならなりません．

　　ｂ^561＝ｂ　　（ｍｏｄ　３）

　　ｂ^561＝ｂ　　（ｍｏｄ　１１）

　　ｂ^561＝ｂ　　（ｍｏｄ　１７）

ここでは，

　　ｂ^561＝ｂ　　（ｍｏｄ　１７）

を示します．１７がｂを割り切らないとき，フェルマーの小定理より，

　　ｂ^16＝１　　（ｍｏｄ　１７）

５６１＝３５・１６＋１より，

　　ｂ^561＝（ｂ^16）^35・ｂ＝ｂ　　（ｍｏｄ　１７）

となる．同様に

　　５６１＝２８０・２＋１

　　５６１＝５６・１０＋１

より，

　　ｂ^561＝ｂ　　（ｍｏｄ　３）

　　ｂ^561＝ｂ　　（ｍｏｄ　１１）

も示すことができます．

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