【２】完全擬素数（カーマイケル数）

　３４１は２を底とする最小の擬素数であったが，どんな底に対しても

　　ａ^p−ａ

がｐで割り切れるとき，ｐを完全擬素数（カーマイケル数）という．

　５６１は最小の完全擬素数であて，以下，

　　１１０５，１７２９，２４６５，２８２１，６６０１，８９１１，１０５８５，・・・

と続く．無限に存在することが証明されている．

　どのカーマイケル数も少なくとも３つの素因数を含む．

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【３】ラマヌジャン

数学者ハーディがラマヌジャンに会いに行ったとき，タクシーナンバーが１７２９という何の変哲もない数であったと彼に伝えたところ，ラマヌジャンは１７２９は２つの３乗数で２通りに表せる最小の数だと答えたというエピソードは大変有名である．

たしかに

　　１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3

と書き表すことができるが，どうすればそんなことに気づくことができるのだろうか？　１７２８はそれよりも１小さい．したがって，

　　１７２８＝１２^3＝１２・１２・１２

専門的になるが，重さ0のモジュラー関数

　　ｊ（ｚ）＝ｅｘｐ（−２ｉπｚ）＋７４４＋１９６８８４ｅｘｐ（２ｉπｚ）＋・・・

において，ｚ=iとおくと

　　ｊ（ｉ）＝１７２８＝１２^3

という性質がこの逸話のもとになっている．それにしても，長い間，数について研究し，さまざまな関連性を熟知していなければ答えることができないことであろう．

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【４】カーマイケル数１７２９

１７２９＝７・１３・１９はカーマイケル数で，底を２〜ａに取り替えても一切反応しません．

　ａ^6＝１　（ｍｏｄ７）

　　ａ^12＝１　（ｍｏｄ１３）

　ａ^18＝１　（ｍｏｄ１９）

より，

　　ａ^1728＝（ａ^6）^288＝１　（ｍｏｄ７）

　　ａ^1728＝（ａ^12）^144＝１　（ｍｏｄ１３）

　　ａ^1728＝（ａ^18）^72＝１　（ｍｏｄ１９）

　つまり

　　　ａ^1728＝１　（ｍｏｄ１７２９）

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