［Ｑ］（４ａ）！（４ｂ）！／ａ！ｂ！（２ａ＋ｂ）！（ａ＋２ｂ）！は整数であることを証明せよ．

［A］

Ｎ1＝（４ａ＋４ｂ）！／ａ！ｂ！（２ａ＋ｂ）！（ａ＋２ｂ）！は整数である．

Ｎ2＝（４ａ＋４ｂ）！／（４ａ）！（４ｂ）！は整数である．

しかし，

　Ｎ＝Ｎ1／Ｎ2＝（４ａ）！（４ｂ）！／ａ！ｂ！（２ａ＋ｂ）！（ａ＋２ｂ）！

が整数であるとは限らない．

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　ａ≧ｂとしても一般性は失われない．帰納法を使ってみると

［１］ｂ＝０のとき，（４ａ）！／（２ａ）！ａ！

（４ａ）！／（２ａ）！ａ！ａ！は整数であるから，（４ａ）！／（２ａ）！ａ！も整数．

［２］Ｎ＝（４ａ）！（４ｂ）！／ａ！ｂ！（２ａ＋ｂ）！（ａ＋２ｂ）！

＝（２ａ＋ｂ＋１）（２ａ＋ｂ＋２）・・・（４ａ）（ｂ＋１）（ｂ＋２）・・・（４ｂ）／ａ！（ａ＋２ｂ）！

は整数であるとする．

Ｍ＝（４ａ）！（４ｂ＋４）！／ａ！（ｂ＋１）！（２ａ＋ｂ＋１）！（ａ＋２ｂ＋２）！

Ｍ／Ｎ＝（４ｂ＋１）（４ｂ＋２）（４ｂ＋３）（４ｂ＋４）／（ｂ＋１）（２ａ＋ｂ＋１）（ａ＋２ｂ＋１）（ａ＋２ｂ＋２）

＝４（４ｂ＋１）（４ｂ＋２）（４ｂ＋３）／（２ａ＋ｂ＋１）（ａ＋２ｂ＋１）（ａ＋２ｂ＋２）

　Ｍ＝４（４ｂ＋１）（４ｂ＋２）（４ｂ＋３）Ｎ／（２ａ＋ｂ＋１）（ａ＋２ｂ＋１）（ａ＋２ｂ＋２）

Ｎ／（２ａ＋ｂ＋１）（ａ＋２ｂ＋１）（ａ＋２ｂ＋２）が整数であればよいことになるが，

ａ！（ａ＋２ｂ）！Ｎ＝（２ａ＋ｂ＋１）（２ａ＋ｂ＋２）・・・（４ａ）（ｂ＋１）（ｂ＋２）・・・（４ｂ）

ａ！（ａ＋２ｂ）！Ｎ／（２ａ＋ｂ＋１）（ａ＋２ｂ＋１）（ａ＋２ｂ＋２）＝（２ａ＋ｂ＋２）・・・（４ａ）（ｂ＋１）（ｂ＋２）・・・（４ｂ）／（ａ＋２ｂ＋１）（ａ＋２ｂ＋２）

において，１，・・・，ａ，・・・，ａ＋２ｂ，は（ａ＋２ｂ＋１），（ａ＋２ｂ＋２）では割り切れない

３ｂ＋１≦（ａ＋２ｂ＋１）≦３ａ＋１≦４ａ

３ｂ＋２≦（ａ＋２ｂ＋２）≦３ａ＋２≦４ａ

→Ｎは（２ａ＋ｂ＋１）（ａ＋２ｂ＋１）（ａ＋２ｂ＋２）で割り切れる→Ｍは整数

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