二項係数の中央の値

　　ｃn＝2nＣn＝（２ｎ）！／（ｎ！）^2

を考えます．あるいはもっと一般に，連続するｋ個の自然数の積

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）

がｋ！で割り切れることは

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／ｋ！

が整数であることがいえればよいのであすが，

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／ｋ！＝nＣk

これらが整数であることは組み合わせの総数＝整数であるから明らかでしょう．

　カタランの定数の整除性

　　ｃn＝2nＣn／（ｎ＋１）＝2nＣn−2nＣn+1

はまだいいとしても，

　　ｃk＝（（ｋ＋１）^2）！／（ｋ^2）！・（ｋ＋１）^2・・・（２ｋ）^2・（２ｋ＋１）

の整除性を証明するにはどうしたらよいでしょうか？

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【１】対応する不等式

　たとえば，

　　Ｑ＝（６ｎ＋２）！ｎ！／（３ｎ＋１）！｛（２ｎ）！｝^2

が整数であることを証明するには，この式に対応するガウス記号［・］を用いた不等式

　　［（６ｎ＋２）／ｍ］＋［ｎ／ｍ］≧［（３ｎ＋１）／ｍ］＋２［２ｎ／ｍ］　　　ｍ≧２

が成立するかどうかを調べる．

　成立することがわかれば，任意の素数ｐに対して

　　（Ｑの分子がｐで割り切れる回数）−（Ｑの分母がｐで割り切れる回数）≧０であることを示せばよい．

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【２】素因数の累乗の評価

［１］ｎ！を素因数分解したとき，ある素数ｐがｐ^rの形で含まれていたとすると，ガウス記号［・］を用いて

　　ｐ＝［ｎ／ｐ］＋［ｎ／ｐ^2］＋・・・＋［ｎ／ｐ^s］＋・・・

［２］ｃn＝2nＣnを＝（２ｎ）！／（ｎ！）^2

を素因数分解すると，√２ｎより大きい素数は現れてもｐ^1の形である．それ以下の素数がｐ^kの形で現れれば，ｐ^k≦２ｎである．

（証明）この式に対応する不等式

　　［２ｎ／ｐ^s］−２［ｎ／ｐ^s］

は０か１であることよりＱＥＤ．ｎ／ｐ^sの小数部分が０．５未満ならば０，０．５以上ならば１であることを具体的に確かめてみるとよい．

　すなわち，素因数分解するとｎより大きく２ｎ以下の素数があれば，それらはすべて１乗の形の積として現れます．もしもその間に素数がなければ，ｎ以下の素数の積で表されるはずです（実はさらに２ｎ／３以下の素数の積なります．２ｎ／３より大きくｎ以下の素数は分子に２回，分母に２回現れて約分される）．

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