カタラン数の一般項は

　　Ｃn＝2nＣn／（ｎ＋１）＝（２ｎ）！／ｎ！（ｎ＋１）！，

　　Ｃn＝2n+1Ｃn／（２ｎ＋１）

あるいは

　　Ｃn＝2nＣn−2nＣn-1＝１，２，５，１４，４２，・・・

と表される．

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【１】カタラン数の漸近挙動

　　Ｃn＝2nＣn／（ｎ＋１）＝（２ｎ）！／（ｎ！）^2（ｎ＋１）

に対して，スターリングの漸近公式

　　ｋ！＝√２π・ｋ^(k+1/2)・exp（−ｋ）＝√（２πｋ）・（ｋ／ｅ）^k

を適用すると，

　　Ｃn〜２^2n／√（ｎπ）（ｎ＋１）〜４^nｎ^(-3/2)／√π

　　Ｃn／４^nｎ^(-3/2)→１／√π

に収束することがわかる．

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【２】カタラン級数Σunx^nの収束半径

un=1/n・(2n-2,n-1)とおくと

un=(4n-2)/(n+1)・un-1

これより帰納的に(un)^1/n→α≦4

一方、スターリングの公式より

√((n-1)・(2n-2,n-1)≧2^(2n-3)

これより(un)^1/n→α≧4

したがって、(un)^1/n→α＝4

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