【１】ｎオミノ問題

（Ｑ）同じ大きさの正方形の辺と辺をつなげたタイルで，正方形をｎ枚使ったものをｎオミノと呼ぶ．ｎオミノは何種類あるか？

（Ａ）回転や反転で同型になるものは同じと数えると，モノミノ（１），ドミノ（１），トロミノ（２），テトロミノ（５），ペントミノ（１２），ヘキソミノ（３５），ヘプトミノ（１０８），オクトミノ（３６９），ノノミノ（１２８５），デコミノ（４６５５）・・・．別に数えると，モノミノ（１），ドミノ（２），トロミノ（６），テトロミノ（１９），ペントミノ（６３），ヘキソミノ（２１６），ヘプトミノ（７６０），オクトミノ（２７２５），ノノミノ（９９１０），デコミノ（３６４４６），・・・

　ｎオミノの種類はｎとともに急速に増加する．前者の個数をＰn，後者の個数をＱnと表すと

ｎ　　　　Ｐn 　　　　Ｑn 　　　　ｎ　　　　Ｐn 　　　　Ｑn 　　　　

１ 1 1 10 4655 36446

２ 1 2 11 17073 135268

３ 2 6 12 63600 505861

４ 5 19 13 238591 1903890

５ 12 63 14 901971 7204874

６ 35 216 15 3426576 27394666

７ 108 760 16 13079255 104592937

８ 369 2725 17 50107911 400795860

９ 1285 9910 18 192622052 1540820542

　ｎオミノの数Ｐnを正確に表すｎの式はまだ見つかっていない．

　　Ｐn+1／ｎＰn＝Ｃn

とおくと，Ｃ1＝１，Ｃ2＝１，Ｃ3＝．８３３，Ｃ4＝．６００，Ｃ5＝．５８３，Ｃ6＝．５１４，Ｃ7＝．４８８，Ｃ8＝．４３５，Ｃ9＝．３８６となる．

　大きなｎに対して

　　Ｑn 〜　ａ^n　　（ａ＝３．７２〜４．５）

　　Ｐn 〜　Ｑn／８

という漸近評価が得られている．

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【２】クラーナーの定数（１９６６年）

　クラーナーは

　　Ｐn 〜　Ｋ^n

となる定数Ｋが存在すること＝Ｐnのｎ乗根が極限をもつことを示した．現在の下限は３．８７５６５，上限は４．６４９５５１である．

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