ｎ次の行列式（determinant）はｎ個の項の積のｎ！個の項に適当な符号をつけた和として表される．符号をつけずに全部＋にして加えた式はpermanentと呼ばれる．訳語はないが，強いて訳せば永久式である．

　２つの行（または列）が比例するとき，行列式の値は０となるから，すべての成分ａij＝１／ｎの行列Ｊnの行列式は０であるが，永久式の値はｎ！／ｎ^nである．

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【１】ファン・デル・ヴェルデン予想

　ｎ次の行列で成分ａij≧０，行和＝１，列和＝１のとき（ｎ×ｎ二重確率行列），永久式の値≧ｎ！／ｎ^nである．等号はＪnのときのみ成立する．

　1926年に提唱されたこの予想は２人のロシア人Egorycev（１９８０年），Falikman（１９８１年）により独立にまったく別な方法で証明された．

　ところで，スターリングの公式の図形的近似式において，

　　ｎ！は直角三角錐

　　ｎ^nは立方体

と関係している部分である．すなわち，ｎ^n／ｎ！は１辺の長さｎの立方体を切断した直角三角錐の体積になる．

　図形的証明に対して，スターリングの近似の組み合わせ論的証明も可能かもしれない．ｎ^nは｛１，２，３，・・・ｎ｝から｛１，２，３，・・・ｎ｝へのinto写像，ｎ！は｛１，２，３，・・・ｎ｝から｛１，２，３，・・・ｎ｝へのonto写像であるからだ．

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ｎ→∞のとき、スターリングの公式ｎ！〜√2πｎｎ^nexp(-n）より

ｎ！／ｎ^n〜√2πｎexp(-n）

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ｎ次の異なるラテン方陣の総数をＬ（ｎ）とおく。たとえば、5次のラテン方陣のについて非同型なものは2つしかないが、同型性を無視すれば

5!・4!・56個もある。このようにｎ次のラテン方陣の個数は急激に増えていく。

ライザーはファン・デル・ヴェルデン予想が正しければ

Ｌ（ｎ）≧(n!)^(2n-2)/n^(n^2)

を導くと指摘した。ファン・リントとウィルソンはこれが漸近的に正しいオーダーであることを証明した。

Ｌ（ｎ）≧(n!)^(2n)/n^(n^2)

(Ｌ（ｎ）)^1/n^2〜exp(-2)n

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