p(3)=3,p(4)=5,P(5)=7,p(6)=11,p(7)=15,・・・

はどのくらいの速さで大きくなるのか？

偶奇はどうなるのか？

特別な算術的性質をもつのか？

p(n)を計算するための効果的な方法があるのか？

p(n)が素数になる場合は無限にあるのか？

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　p(n)はオイラーの分割関数とも呼ばれますが，定義が簡単そうにみえるにも関わらず，分割数を表す簡単な公式はありません．

１９１８年，ハーディーとラマヌジャンはp(n)に対する漸近的な級数を見出しました。

　　p(n)〜exp(π√(2n/3))/4n√3

1937年、ラーデマッハーはハーディーとラマヌジャンの数式を改善して、p(n)に対する収束無限級数を見つけました。

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p(n)の正確な公式は，ラーデマッハーの公式（１９３７年）

　　p(n)=1/π√2ΣAk(n)k^(1/2){d/dxsinh(π(2/3(x-1/24))^(1/2)/(x-1/24)^(1/2))

によって与えられます．ここで，Ak(n)は１の２４乗根をもちいて明示的に与えることができます．

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ラーデマッハーはこの級数のＮ項以降が切り捨てられるならば、その誤差の絶対値は

2π^2//9√3・exp(π√(2n/3)/(N+1))/N^1/2

で、上から抑えられることを証明した。

p(200)=3972999029388から1以内に収まるためにはたった8項を計算すれば、誤差は0.004以内に収まる

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