【３】ベルヌーイ

ベルヌーイはこの式の列を見て，次のようなパターンを発見しました．一般式の形で書くと，Ｓs=Σｋ^sは

　　Ｓs=1/(s+1){Ｂ0n^(s+1)+s+1C1Ｂ1n^s+･･･+s+1CsBsn}

　　=1/(s+1)Σ(K=0-s)(s+1,k)Ｂk(n+1)^(s+1-k)

と，ベルヌーイ数Ｂnを含む式で表すことができます．

［１］Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^sはｎのｓ＋１次の多項式になる．また，すべてのΣｋ^sはｎ（ｎ＋１）を因数として含む．

［２］ｓ＋１次の係数は１／（ｓ＋１），ｓ次の係数は１／２

［３］ｓ−１次の係数は欠けない．

［４］ｓ−３，ｓ−５，ｓ−７，・・・次の係数は欠けない．

［５］ｓ−２，ｓ−４，ｓ−６，・・・次の係数は欠落．

　これより，

　　Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s

＝ｎ^s+1／（ｓ＋１）＋ｎ^s／２＋ｐ／２・Ａｎ^s-1＋ｐ（ｐ−１）（ｐ−２）／４！・Ｂｎ^s-3＋ｐ（ｐ−１）（ｐ−２）（ｐ−３）（ｐ−４）／６！・Ｃｎ^s-5＋・・・

　Ａ＝１／６，Ｂ＝−１／３０，Ｃ＝１／４２，Ｄ＝−１／３０，Ｅ＝５／６６，Ｆ＝−６９１／２７３０，Ｇ＝７／６，・・・と続く．これがベルヌーイ数で，Ａ〜ＧはＢ2〜Ｂ14になっている．

［６］ｓ−１次の係数については，Ａ＝１／６として，

　　Ａ・ｐ／２＝Ａ／２・pC1

［７］ｓ−３次の係数については，Ｂ＝−１／３０として，

　　Ｂ・ｐ（ｐ−１）（ｐ−２）／４！＝Ｂ／４・pC3

［８］ｓ−５次の係数については，Ｃ＝１／４２として，

　　Ｃ・ｐ（ｐ−１）（ｐ−２）（ｐ−３）（ｐ−４）／６！＝Ｃ／４・pC5

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