θ＝π／５，５θ＝πのとき、

　　ｃｏｓ（２θ＋３θ）＝−１

　　ｃｏｓ（３θ）＝ｃｏｓ（π−２θ）＝−ｃｏｓ（２θ）

　　４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ＝２ｃｏｓ^2θ−１

　　４ｘ3−２ｘ^2−３ｘ＋１＝０→T3(x)=-T2(x)と同値

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Tn(cosθ)=cosnθ、Un(cosθ)=sin(n+1)θ/sinθ

X=cosθとおくと

Tn(X)=cosnθ、Un(X)=sin(n+1)θ/sinθ

x=2cos(2θ)とおくと

x=4cos^2θ-2

√(x+2)=2X

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n=k-1,θ=2φとすると

Uk-1(cos2φ)=sin2kφ/sin2φ

x=2cos2φとすると

Uk-1(x/2)=sin2kφ/sin2φ

一方、

sin2kφ/sin2φ=sin2kφ/sinφ・1/2cosφ

cosφ=Xとおくと

sin2kφ/sinφ・1/2cosφ=U2k-1(X)/2X

以上より

Uk-1(x/2)＝U2k-1(X)/2X

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Uk(x/2)+Uk-1(x/2)={sin(2k+2)φ+sin2kφ}/sin2φ

=2sin(2k+1)φcosφ/sin2φ

=sin(2k+1)φ/sinφ=U2k(X)

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n=k,θ=2φとすると

Tk(cos2φ)=cos2kφ

x=2cos2φとすると

Tk(x/2)=cos2kφ=T2k(X)

n=k-1,θ=2φとすると

Tk-1(cos2φ)=cos(2k-2)φ

x=2cos2φとすると

Tk-1(x/2)=cos2(k-1)φ=T2(k-1)(X)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Tk(x/2)+Tk-1(x/2)={cos(2k)φ+cos(2k-2)φ}

=2cos(2k-1)φcosφ

=2XT2k-1(x)

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Uk(x/2)-Uk-1(x/2)={sin(2k+2)φ-sin2kφ}/sin2φ

=2cos(2k+1)φsinφ/sin2φ

=cos(2k+1)φ/cosφ=T2k+1(X)/X

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Tn(X)=0

n=evenのとき、Tk(x/2)=T2k(X)、n=2kより、

Tn/2(x/2)=0

n=oddのとき、Uk(x/2)-Uk-1(x/2)=T2k+1(X)/X,n=2k+1より、

U(n-1)/2(x/2)-U(n-3)/2(x/2)=0

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