【３】マルコフ方程式

マルコフ数は３元２次のディオファントス方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ

の解として現れることは前述したとおりであり，大いに興味をかき立ててきたディオファントス方程式である．マルコフ方程式のすべての解を求める問題は，たとえば３元３次の方程式ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3＝ｘ＋ｙ＋ｚの場合とは違って，ｘ，ｙ，ｚの各変数に関して２次式になっているので１つの解の中の数を使って別の解を作ることができます．

［１］ｚ＝ｘｙ／２・｛３±（９−４／ｘ^2−４／ｙ^２）^1/2｝

であり，１≦ｘ≦ｙ≦ｚとしても一般性は失われない．

（ｘ，ｙ）＝（１，１）からスタートすると

　　→ｚ^2＋２＝３ｚ→ｚ＝１，２→（１，１，１），（１，１，２）

（ｘ，ｙ）＝（１，２）からスタートすると→ｚ＝１，５→（１，１，２），（１，２，５）

　　（ｘ，ｙ）＝（１，１）→ｚ＝１，２

　　（ｘ，ｙ）＝（１，２）→ｚ＝１，５

　　（ｘ，ｙ）＝（１，５）→ｚ＝２，１３

　　（ｘ，ｙ）＝（２，５）→ｚ＝１，２９

［２］一般に（ａ，ｂ，ｃ）からスタートすると

（ａ，ｃ，３ａｃ−ｂ），ａ≦ｃ≦３ａｃ−ｂ

（ｂ，ｃ，３ｂｃ−ａ），ｂ≦ｃ≦３ｂｃ−ａ

も解となる．すると（１，１，１）には親がいないことになる．

［３］すべての解は特異解（１，１，１），（１，１，２）から生成される．

［４］（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，１），（２，１，１），（５，１，２），（１３，１，５），（２９，５，２），・・・はひとつの整数解が次の解を導き，特異解（１，１，１），（１，１，２）以外のすべての解はｘ，ｙ，ｚの値が相異なります（ｘ＜ｙ＜ｚ）．

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　こうして，２次のディオファントス方程式ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚの解として現れる，

　　１，２，５，１３，２９，３４，８９，１６９，１９４，２３３，４３３，６１０，９８５，・・・

はマルコフ数と呼ばれます．ここで，

［１］１，２，５，１３，３４，８９，２３３，６１０，１５９７，・・・はフィボナッチ数のひとつ置きの数列になっている．項比は

　　φ^2＝（３＋√５）／２

に近づく．

［２］２，５，１３，２９，３４，８９，１６９，１９４，２３３，４３３，６１０，９８５，１３２５，・・・は２乗和で表される数列である．

　　２＝１^2＋１^2

　　５＝１^2＋２^2

　１３＝２^2＋３^2

　２９＝２^2＋５^2

　３４＝３^2＋５^2

　８９＝５^2＋８^2

［３］（ａ，ｂ，ｃ）がマルコフ解であるならば，３ａｃ−ｂ＞０である．

［Ｑ］（ｘ，４３３，３７６６６）がマルコフ解であるとき，ｘを求めよ．

［Ａ］ｘ^2＋４３３^2＋３７６６６^2＝３・４３３・３７６６６ｘを解くのは大変である．そこで，・・・

　　３７６６６÷３・４３３＝２８．９

　　３７６６６÷３・４３３＝２８余り１２９４

　　３７６６６÷３・４３３＝２９不足５

　この２９が求める解ｘとなる．

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