■鳩ノ巣原理の例(その12)

【6】証明(2)

αが黄金比と関係していなければ

  (α≠[a0:a1,・・・,an,1,1,1,・・・])

定数√5を√8に大きくすることができる.

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 α=[a0:a1,a2,・・・]を無理数で,黄金比に関係していないとすると,an≧2があることになる.

[1]無限個のanが3以上である場合

  λn-1>an≧3>√8

 以下,大きいnに対してan≦2とする.

[2]an=2,an+1=1になるnが無限にある場合

  λn=an+1/(1+1/・・)+1/(an-1+1/・・)≧2+1/2+1/3=17/6>√8

[3]十分大きなmに対して,am=2である場合

  n>mにおいて,λn=[2:2,2,2・・・]+1/[2:2,2,2・・・]=[2:2,2,2・・・]+[0:2,2,2・・・]

  n→∞のとき,λn=1+√2+1/(1+√2)=√8

[3]の場合だけが√8より大きい数に置き換えることができない.

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