【６】クラトウスキーの定理（１９３０年）

　「与えられたグラフＧが平面グラフである必要十分条件は，ＧがＫ3,3とＫ5をマイナーとして含まないことである．」

　クラトウスキーの定理によれば，Ｋ3,3とＫ5は平面上に枝を交差させることなく描くことができないし，平面上に描くことさえできない．この定理を使うと４色定理は

　「Ｋ3,3とＫ5をマイナーとして含まないグラフは，頂点を４色で彩色することが可能である．」と言い換えることができる．なお，トーラス面上の地図の塗り分けには７色必要な場合がある．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Ｋ3,3とＫ5はクラトフスキグラフである。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝