グラフの種数とは、グラフを辺が交差しないように描画できるようにするために、球面に追加しなければならない取っ手の最小数である。

リンゲルとヤングスが解決した問題は、向き付け可能なグラフの種数と関係している。

たとえば、K5はトーラス面上には描画可能であるが、球面上には描画不可能である（種数１）。

Knの種数がgnならば、ｎ色が必要となるgn個の取っ手をもつ曲面上の地図が存在するということである。

gn=(n-3)(n-4)/12のceiling

であることから、ｇ＞1に対して

　　Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

が導かれる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１１】ヒーウッドの公式

［１］球面上のＫ4

［２］トーラス面上のＫ7

［３］種数６表面上のＫ12

は，ヒーウッドの公式「ｇ個の穴があいているトーラス上の地図はどれも

　　Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

色で塗り分けられる」に対応したものである．

　　ｇ＝（ｖ−３）（ｖ−４）／１２

　　ｖ^2−７ｖ＋１２−１２ｇ＝０

　　ｖ＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

　以下，

　　ｇ＝１１　→　Ｋ15

　　ｇ＝１３　→　Ｋ16

　　ｇ＝２０　→　Ｋ19

　　ｇ＝３５　→　Ｋ24

　　ｇ＝４６　→　Ｋ27

　　ｇ＝５０　→　Ｋ28

　　ｇ＝６３　→　Ｋ31

　　ｇ＝８８　→　Ｋ36

と続く．１＋４８ｇ型の平方数は無数にあるのだろう．ともあれ，彩色数はオイラー標数とは別の表面の不変量なのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝