グラフの種数とは、グラフを辺が交差しないように描画できるようにするために、球面に追加しなければならない取っ手の最小数である。

リンゲルとヤングスが解決した問題は、向き付け可能なグラフの種数と関係している。

たとえば、K5はトーラス面上には描画可能であるが、球面上には描画不可能である（種数１）。

Knの種数がgnならば、ｎ色が必要となるgn個の取っ手をもつ曲面上の地図が存在するということである。

gn=(n-3)(n-4)/12のceiling

であることから、ｇ＞1に対して

　　Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

が導かれる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１０】種数ｇのトーラス面上の正則平面グラフ

　Ｋvが平面的であるならば，ｑ＝ｖ−１，ｅ＝ｖ（ｖ−１）／２．

　　ｆ＝２−２ｇ＋ｅ−ｖ＝２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　３（２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ）＝３ｆ≦２ｅ＝ｖ（ｖ−１）

　正則平面グラフであるためには

　　３（２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ）＝ｖ（ｖ−１）

　　ｇ＝（ｖ−３）（ｖ−４）／１２

　この方程式には解が無数にあるが，

　　ｇ＝０　→　Ｋ4

　　ｇ＝１　→　Ｋ7

　　ｇ＝６　→　Ｋ12

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝