【１】トーラス面上の七色定理

　平面や球面上に描かれた地図に関するオイラーの公式は

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

であるが，トーラス上の地図に関するオイラーの公式は

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝０

となる．平面（球面）の塗り分け問題は比較的最近解決されたが，トーラス上の地図の塗り分けについては，それ以前から７色必要な場合があり，また７色で常に十分であることが知られていた．

トーラスでは６個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることを証明するために，どの領域も少なくとも７つの領域で囲まれていると仮定すると

　　７ｆ≦２ｅ

また，３ｖ≦２ｅですから

　　ｖ−ｅ＋ｆ≦２／７ｅ−ｅ＋２／３ｅ＝−１／２１ｅ≠０

という矛盾を引き出すことができる．したがって，トーラスでは６個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることになり，このことを利用すると，

　　「トーラス上のどんな地図でも７色で塗り分けられる」

ことが証明される．ヒーウッドは実際に７色を必要とする例もあげている．

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