nＳkは第２種スターリング数と呼ばれるもので，漸化式

　　n+1Ｓk＝nＳk-1＋ｋnＳk

が成り立ちます．

　nＴkは第１種スターリング数と呼ばれるもので，漸化式

　　n+1Ｔk＝nＴk-1＋ｎnＴk

が成り立ちます．

　どちらもパスカルの三角形の規則

　　n+1Ｃk＝nＣk-1＋nＣk

を少し変えたもので，三角形状に配置すると・・・

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【１】第２種スターリング数

ｎ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　計（ベル数）

１：１　　　　　　　　　　　　　　　　　１

２：１　１　　　　　　　　　　　　　　　２

３：１　３　１　　　　　　　　　　　　　５

４：１　７　６　１　　　　　　　　　　　１５

５：１　１５　２５　１０　１　　　　　　５２

６：１　３１　９０　６５　１５　１　　　２０３

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【２】第１種スターリング数

ｎ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　計（階乗）

１：１　　　　　　　　　　　　　　　　　１

２：１　１　　　　　　　　　　　　　　　２

３：２　３　１　　　　　　　　　　　　　６

４：６　１１　６　１　　　　　　　　　　２４

５：２４　５０　３５　１０　１　　　　　１２０

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(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=A(x+α)(x+β)(x+γ)(x+δ)+B(x+α)(x+β)(x+γ)+C(x+α)(x+β)+D(x+α)+E

において、

a=b=c=d=0,α=0,β=-1,γ=-2,δ=-3のとき、

x^4=Ax(x-1)(x-2)(x-3)+Bx(x-1)(x-2)+Cx(x-1)+Dx+E

A=1,B=6,c=7,D=1,E=0　　　(第2種スターリング数)

z^3=z+3z(z-1)+ｚ(z-1)(z-2)

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α=β=γ=δ=0,a=0,b=-1,c=-2,d=-3のとき、.

x(x-1)(x-2)(x-3)=Ax^4x+Bx^3+Cx^2+Dx+E

A=1,B=-6,c=11,D=-6,E=0　　　(第1種スターリング数)

1/z^2=1/z(z+1)+1/z(z+1)(z+2)+2/z(z+1)(z+2)(z+3)+6/z(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)+・・・

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