【１】有限射影平面

　アフィン平面では平行な直線が存在しましたが，しかし，すべての直線が交点をもつとしても矛盾を生じない幾何学の体系を考えることができます．

　アフィン平面に無限遠点，無限遠直線を加えて完備化すると射影平面が得られますが，完備化により点の数がｎ＋１個，直線が１本増えます．したがって，ｎ次射影平面における点の数はｎ^2＋ｎ＋１，直線の数もｎ（ｎ＋１）＋１＝ｎ^2＋ｎ＋１で等しくなります．たとえば，２次の射影平面は７つの点，７本の直線よりなります．このことが射影平面の双対性と結びついてきます．

有限射影平面とは任意の点の対はちょうど1本の直線に属し、任意の2直線はちょうど1点というもので、7点や１３点の幾何が存在するのですが、ｎが素数ベキであれば常に位数ｎの射影平面が存在します。この場合、各直線はｎ+1個の点を含み、各点はｎ+1本の直線上にあります。点と直線の個数はそれぞれｎ^2＋ｎ＋１であるというわけです。

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　デザルグの定理やパップスの定理は有限射影平面でも成立します．そして可換体ばかりでなく乗法の交換法則を満たさない非可換体（斜体）から作られる射影平面においてもこれらの定理が成立します．

　そして，ｎ次のアフィン（射影）平面が存在すれば，方程式

　　ｚ^2＝ｎｘ^2＋(-1)^((n(n+1)/2)ｙ^2

がすべて０でない整数解をもつことが示されています．たとえば，ｎ＝６の場合，

　　ｚ^2＝６ｘ^2−ｙ^2

が整数解をもたないことを示すことができるので，６次のアフィン（射影）平面は存在しません．

　さらに，ｎ＝４ｋ＋１，４ｋ＋２の場合にｎ次のアフィン（射影）平面が存在すれば，

　　ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2

となる整数が存在するということも証明されています．このことからｎ＝６，１４，２１，２２，・・・の場合，ｎ次のアフィン（射影）平面が存在しないことがわかります．

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