［１］２次曲線（円錐曲線）

　平面上の５点で円錐曲線がひとつ決まる．

　２つの円錐曲線の交点での８本の接線は，同じ円錐曲線に接する．

　与えられた５つの円錐曲線に接する円錐曲線は３２６４個ある．

［２］３次曲線

　ニュートンは，平面３次曲線はすべて，５つの空間３次曲線から中心射影を行うことで得られるれることを証明した．

　軸を変えても互いに他に還元できない３次曲線が７８種類ある（ニュートンはこのうち７２種類を見つけていた）．

　空間の６点で，空間３次曲線が決まる．

　ある点から３次曲線へは多くて６本の接線が引ける（これは３次曲線の類が３か４か６であることからいえる）

　３次曲線は高々９個の変曲点をもち，うち高々６個は実の変曲点である．この９点は１２本の直線上に３個ずつ並んでいる．

　非特異な３次曲線上にうまく２７個の点をとって，それらを通ってもとと６点で接する円錐曲線を引くことができる．この２７個の点は３次曲線の９個の変曲点のそれぞれを通る３つの接線の接点である．

［３］４次曲線

　４次曲線の３つの２重点での６本の接線は，同じ円錐曲線に接する．

　４次曲線は実変曲点を高々８つもつ．

　４次曲線は高々２４個の変曲点をもち，うち高々８個は実の変曲点である．　一般的な平面４次曲線の２重接線の最大本数は２８である（これは３次曲面に最大２７本の直線があることからいえる．３次曲面が３，７，１５，２７本の実直線しかもちえないことから，４次曲線は４，８，１６，２８本の実２重接線しかもちえない）．

　軸を変えても互いに他に還元できない４次曲線が１５２種類ある（この分類はオイラーが手がけ，プリュッカーが成し遂げた）．

　４次曲線に対し，どの４つの２重接線の接点を通る３１５個の円錐曲線が存在する．

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［４］２次曲面

　非退化な２次曲面は５種類ある．

　与えられた７点を通る２次曲面はみな８番目の同じ点を通る（ヘッセ，はじめの７点がある空間３次曲線に属していれば，この７点を通る２次曲面はこの３次曲線を完全に含むから８番目の点はこの３次曲線上にある）．

　空間の９点で２次曲面が決まる．

［５］３次曲面

　一般の３次曲面は３，７，１５あるいは２７本の実直線を含む．

　３次曲面上の点で，２７本の直線のうちの３本が通る点をエッカルト点という．エッカルト点の個数は１２，３，６，９，１８のどれかである．１８個の場合は６本の直線で，同時に９本の母線と交わるものが存在する．これはシルヴェスター４面体の辺である．

　一般的な３次曲面の３重接平面の最大数は４５である（３次曲面が３，７，１５，２７本の実直線しかもちえないことから，４次曲線は７，１３，１５，４５個の３重接平面しかもちえない）．

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