ヤコビの３重積公式はテータ関数そのものを表しているのであって，これから

　　Σ(-1)^n･q^(n^2)=(q;q)∞/(-q;q)∞

　　Σq^(n(n+1)/2)=(q^2;q^2)∞/(q;q^2)∞

　　Σq^(k^2)/(q;q)k=1/(q;q^5)∞(q^4;q^5)∞

　　Σq^(k(k+1))/(q;q)k=1/(q^2;q^5)∞(q^3;q^5)∞

　　Σq^(k^2)/(q;q)2k=1/(q;q^2)∞(q^4;q^20)∞(q^16;q^20)∞

　　Σq^(k(k+2))/(q;q)2k+1=1/(q;q^2)∞(q^8;q^20)∞(q^12;q^20)∞

　　Σq^(k^2)/(q;q)k(q;q)n-k=Σ(-1)^k･q^{(5k^2-k)/2}/(q;q)n-k(q;q)n+k

　　Σ2q^(k^2)/(q;q)k(q;q)n-k=Σ(-1)^k･(1+q^k)q^{(5k^2-k)/2}/(q;q)n-k(q;q)n+k

などの恒等式が得られる．

　このうち，後６者のｑ恒等式

　　Σq^(k^2)/(q;q)k=1/(q;q^5)∞(q^4;q^5)∞

　　Σq^(k(k+1))/(q;q)k=1/(q^2;q^5)∞(q^3;q^5)∞

　　Σq^(k^2)/(q;q)2k=1/(q;q^2)∞(q^4;q^20)∞(q^16;q^20)∞

　　Σq^(k(k+2))/(q;q)2k+1=1/(q;q^2)∞(q^8;q^20)∞(q^12;q^20)∞

　　Σq^(k^2)/(q;q)k(q;q)n-k=Σ(-1)^k･q^{(5k^2-k)/2}/(q;q)n-k(q;q)n+k

　　Σ2q^(k^2)/(q;q)k(q;q)n-k=Σ(-1)^k･(1+q^k)q^{(5k^2-k)/2}/(q;q)n-k(q;q)n+k

はロジャース・ラマヌジャン恒等式と呼ばれるものの例である．

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【１】分割恒等式

　任意の正の整数に対して，ある一定の条件を満たす分割と別の分割が同数存在するという主張を分割恒等式といいます．１９４８年，オイラーは異なる数への分割と奇数への分割が同数あるという注目すべき結果を証明しています．例えば５を異なる数に分割するのは5,4+1,3+2の３通り，奇数に分割するのは5,3+1+1,1+1+1+1+1の３通りというわけです．

　オイラーの分割恒等式が最初のものですが，分割恒等式はいくらでも存在し，ここに掲げたもの以外にも多くの予期せぬ分割恒等式が存在するのです．

［１］ロジャーズ・ラマヌジャンの第１恒等式

　　「１の位が１，４，６，９の数への分割と各因子の差が２以上ある分割とは同数ある．」

　１の位が１，４，６，９の数とはmod5で±１と合同になる整数のことです．例えば５を１，４，６，９に分割するのは4+1,1+1+1+1+1の２通り，各因子の差が２以上ある分割は5,4+1の２通り．

　この分割恒等式はロジャーズ(1894)，また彼とは独立にラマヌジャン(1913)によって得られました．ロジャース・ラマヌジャン恒等式は，最初ロジャースにより発見されたのですが，誰の興味も惹かず忘れ去られていたところ，ラマヌジャンにより別証明が与えられたというわけです．

［２］ロジャーズ・ラマヌジャンの第２恒等式

　　「１の位が２，３，７，８の数への分割と因子は２以上で各因子の差が２以上ある分割とは同数ある．」

　これはmod5で±２と合同になる整数のことです．例えば５を２，３，７，８に分割するのは3+2の１通り，因子は２以上で各因子の差が２以上ある分割は5の１通り．

［３］シューアの分割恒等式

　　「mod6で±１と合同になる整数への分割と，各因子の差が３以上あり，連続する３の倍数を含まないような分割とは同数ある．」

　例えば５をmod6で±１と合同になる整数に分割するのは5の１通り，各因子の差が３以上あり，連続する３の倍数を含まないような分割は5の１通り．

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