【８】マクドナルドの恒等式（１９７２年）

マクドナルドの恒等式は，オイラーの五角数定理やヤコビの三角数定理の一般化である．

　一般に，正の整数ｃに対して

　　Π(1-q^n)^c＝Σamq^m

を求めることは数学者の興味をかきたててきた．オイラー（ｃ＝１），ヤコビ（ｃ＝３），ロジャース，ヘッケ（ｃ＝２），ラマヌジャン（ｃ＝４，６，８），アトキンス（ｃ＝１０，１４，２６），ダイソン（ｃ＝３，８，１０，１４，１５，２１，２４，２６，・・・）

　そして，特別な指数ｃの謎は，１９７２年，イギリスのマクドナルドによって解決されたのである（しかもすべての問題をきれいに片づけてしまった）．マクドナルドは

　　ｃ＝ｎ^2＋２ｎ，ｃ＝２ｎ^2＋ｎ，ｃ＝２ｎ^2−ｎ

ｃ＝ｎ^2−１

に対する一般公式，および，ｃ＝１４，５２，７８，１３３，２４８に対する公式を発見した．しかもすべての問題をきれいに片づけてしまった．ヤコビの三重積公式は２変数であったが，マクドナルドの恒等式はその一般化である（ｎ変数）．ただし，ロジャース，ヘッケ（ｃ＝２），ラマヌジャン（ｃ＝４），アトキンス（ｃ＝２６）はマクドナルドの公式に含まれていないことを注意．この分野の研究はいまでも続いている．

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