【２】ｑダイソン予想

ｑダイソン予想とは

　　Π（１−ｘiｑ^h／ｘj）（１−ｘjｑ^h+1／ｘi）

を展開したとき、ｑのベキだけを含み、ｘiを含まない項は、次の多項式

(1-q)(1-q^2)(1-q^3)・・・(1-q^a1+a2+・・・+an)/Π(1-q)(1-q^2)・・・(1-q^ai）

になるというものである。

1985年、ザイルバーガーとブレッソードによって証明された。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ｑアナログは量子化の概念に非常によく似た形で与えられるといったほうがわかりやすいかもしれない．したがって，階乗ｎ！のｑアナログは

　　Π(1-q^k)/(1-q)

となるが，２項係数(n,m)=n!/m!(n-m)!のｑアナログ（ｑ-２項係数）を

　　[n,m]

と書くことにして，さらに

　　(a;q)n=(1-a)(1-aq)･･･(1-aq^(n-1))=Π(1-aq^k)

なる記号を導入すると

　　(q;q)n=(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^n)=Π(1-q^k)

になるので，

　　[n,m]=(q;q)n/(q;q)m(q;q)n-m

　このようにして，２項定理

　　(1+z)^n=Σ(n,m)z^m

のｑアナログは

　　(1+z)(1+zq)･･･(1+zq^(n-1))=(-z;q)n= Σ[n,m]q^(m(m-1)/2)･z^m

と表すことができる．

　また，これよりｑ-２項級数は

　　(az;q)∞/(z;q)∞=Σ(a;q)m/(q;q)m･z^m

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝