【１】ダイソンの定数項予想

ダイソンの予想は

　　Π（１−ｘj／ｘi）^kの定数項＝(nk)!/(k!)^n

と同値である．

ａ）ｎ＝１の場合は明らか．

ｂ）ｎ＝２の場合は

　　（１−ｘ1／ｘ2）（１−ｘ2／ｘ1）＝−ｘ1／ｘ2＋２−ｘ2／ｘ1

　　（１−ｘ1／ｘ2）^2（１−ｘ2／ｘ1）^2＝（ｘ1／ｘ2）^2−４ｘ1／ｘ2＋６−４ｘ2／ｘ1＋（ｘ2／ｘ1）^2

　　（１−ｘ1／ｘ2）^3（１−ｘ2／ｘ1）^3＝・・・−１５ｘ1／ｘ2＋２０−１５４ｘ2／ｘ1＋・・・

となって，定数項は(2β-1,β-1)となることが予想されるが，ｋが任意の整数の場合は，２項定理

　　Σ(k,i)^2=(2k,k)=(2k)!/(k!)^2

を用いて証明できる．

ｃ）ｎ＝３の場合は

　　Σ(-1)^j(2k,k+j)^3=(3k)!/(k!)^3　　　（ディクソン，１８９１年）

と同値である．

　　Σ(k,i)^2=(2k,k)=(2k)!/(k!)^2

との類似性に注意されたい．

　ディクソンの恒等式の拡張が

　　Σ(-1)^j(a+b,a+j)(b+c,b+j)(c+a,c+j)=(a+b+c)!/a!b!c!

であるが，さらにこのことからダイソンは

　　Π（１−ｘk／ｘj）^aiの定数項＝(a1+a2+･･･+an)!/a1!a2!･･･an!

なる予想にたどりついた．

　すなわち，右辺は多項定理

　　(x+y+z+･･･)^n=Σkn･x^a･y^b･z^c･･･　 (a+b+c+･･･=n)

の係数

　　kn=(a+b+c+･･･+n)

　　　 (a,b,c,･･･,n)

に等しいという美しい予想である．この予想の証明は見かけほど易しいものではないらしいのだが，ダイソンはこの予想の成立を強く確信していたに違いない．

ｄ）ｎ＝４の場合の証明はそれほど易しいものではないが，ダイソンはｎ＝４，５の場合をなんとか証明した．一般のｎについてはうまく証明できなかったのだが，この予想はほどなくウィルソン，ガンソン，グッドにより独立に証明されることとなったのである．

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