自然数の3乗和はパスカルの三角形のいくつかの倍数の和として表される。

Σk^3＝ΣC(k+2,3)+4ΣC(k+1,3)+ΣC(k,3)

C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-2,k-1)+・・・+ΣC(k-1,k-1)

C(n,k)+C(n,k+1)=C(n+1,k+1)

ΣC(n+k-1,k)=C(n+k,k)

C(n+k-1,k)+C(n+k-1,k+1)=C(n+k,k+1)

それではこれはどうか

ΣC(n,k)^2C(m+2n-k,2n)=C(m+n,n)^2

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(1+2+・・・+n)^2=n^3+(1+2+・・・+(n-1))^2=n^3+(n-1)^3+(1+2+・・・+(n-2))^2

これを繰り返すと

Σk^3＝(1+2+・・・+n)^2

1^2=1^3

に到達する。

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