【１】連分数展開

　連分数展開が有限で終わることと有理数であることは同値です．そこで，２次方程式の解となる√ｎの連分数展開を求めると，たとえば

　　√２＝［１：２，２，２，２，・・・］

　　√３＝［１：１，２，１，２，１，２，１，２，・・・］

　　√７＝［２：１，１，１，４，１，１，１，４，・・・］

のように循環型の単純連分数に展開されることが知られています．一般に，２次の無理数（整数係数の２次方程式の解）は周期的な連分数展開をもちます（ラグランジュの定理）．

　平方根を無限連分数に表す手順はわりやすく，たとえば，１＜√２＜２であるから

　　√２＝１＋（√２−１）

　　　　＝１＋１／（√２＋１）　　　　２＜√２＋１＜３

　　　　＝１＋１／｛２＋（√２−１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／（√２＋１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／（２＋（√２−１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／（２＋１／（√２＋１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／｛２＋１／｛２＋１／｛２＋・・・

の手順を何度も繰り返すことにより，

　　√２＝［１：２，２，２，２，・・・］

ができあがります．また，黄金比φ＝（１＋√５）／２は，

　　φ＝［１：１，１，１，，１，・・・］

で表されます．

　ここでは，ｍ進展開の代わりに連分数展開を用いて数の集合を定義してみますが，たとえば，正の実数が無限連分数展開され，そのすべての部分商が１または２であるような実数の集合のハウスドルフ次元は０．５３１２８０５０６・・・であることが計算されています．

　しかし，３次以上の方程式の解，たとえば3√２の連分数展開を求めると，

　　3√２＝［１：３，１，５，１，１，４，１，１，８，１，１４，１，１０，２，１，４，・・・］

の一般項は求めることができません．この展開に現れる整数に最大値があることも示すこともできないのです．

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【２】ヒンチンの定数

　ヒンチンは，一般の連分数

　　［ａ0：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn，・・・］

の大多数についてあてはまる法則を発見しています．ヒンチンの定理とは，ほとんどすべての実数について，幾何平均（ａ1ａ2・・・ａn）^1/nの値がｎ→∞のとき，ある無限乗積から定まる定数

　　（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n→Π(1+1/k(k+2))^logk/log2=2.685452001･･･

に収束するというものです．ただし，分母に明確なパターンのある代数的数やｅをはじめとするいくつかの超越数は例外になります．

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【３】レヴィの定数

　実数ｘのｎ項までの連分数展開ｐn／ｑnとする．ほとんどすべての実数に対して，

　　（ｑn）^1/n→ｅｘｐ（π^2／１２ｌｏｇ２）＝３，２７５８２２９２・・

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