数を連分数で表示すると数字１が大量に出現することに気づきます．そこで，連分数の部分商の分布について考えてみます．

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【１】ガウスの定理

　１８２８年，ガウスは整数部を除いた［０：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn］がｘより小さい小数となる確率は

　Ｐ（［０：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn］＜ｘ）＝ｌｏｇ2（１＋ｘ）＋εn

で与えられることを証明しました．

　誤差項に関して，１９２８年にクズミンはほとんどすべての連分数に対して，

　　εn＝Ｏ（ｑ^√n）　　０＜ｑ＜１

１９２９年にレヴィは

　　εn＝Ｏ（ｑ^n）　　ｑ＝０．７

であることを示しました．どちらも誤差項εnは漸近的に０になることを示しています．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ガウスはまた，連分数の部分商の確率密度関数は

　　Ｐ（ａn＝ｋ）＝Ｐ（ｋ＜εn＜ｋ＋１）＝Ｐ（εn＜ｋ＋１）−Ｐ（εn＜ｋ）

→ｌｏｇ2（１＋１／ｋ）−ｌｏｇ2（１＋１／（ｋ＋１））＝ｌｏｇ2（１＋１／ｋ（ｋ＋２））

であることを示しました．

　ａn＝１，２，３，・・・に対する確率は大部分の小数部で等しいのと対照的に，連分数では減少していきます．そして，十分大きなｎに対する部分商の起こる確率Ｐは

ｋ　　　　　　　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　９＋

Ｐ（ａn ＝ｋ）　 .41 .17　 .09　 .06　 .04 .03 .02 .02 .16

となることがわかります．

大部分の小数部に対する10桁の確率が等しいのとは対照的に、.041,.017,.09のように減少していくのです。

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【２】ヒンチンの定理

　次にａnの幾何平均値を求めてみます．１９３５年，ヒンチンは一般の連分数

　　［ａ0：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn，・・・］

の大多数についてあてはまる法則を発見しています．

　ヒンチンの定理とは，幾何平均（ａ1ａ2・・・ａn）^1/nの値がｎ→∞のとき，ある無限乗積から定まる定数

　　（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n→Π(1+1/k(k+2))^logk/log2=2.685452001･･･

に収束するというものです．κ＝２．６８５４５・・・はヒンチンの定数として知られています．また，近似分数の分母が

　　（Ｂn)^1/n→ｅｘｐ（π^2/12log2)＝３．２７５８２・・・

になることを示しました．

　ただし，分母に明確なパターンのある代数的数やｅをはじめとするいくつかの超越数は例外になります．

　　（ｅの場合，（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n→0.6259･･･）

　算術平均は発散するのに対し幾何平均は収束するというわけですが，ほとんどすべての連分数の場合，調和平均も収束し，その極限値は

　　ｎ／（1/ａ1+1/ａ2+・・・+1/ａn）→１．７４５４０５６８・・・

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