今回のコラムではテオドロスのらせんの漸近挙動を取り上げたい．

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　テオドロスのらせんは，複素数を用いて

　　ｚ1＝１＋ｉ

　　ｚn+1＝ｚn＋ｚn／｜ｚn｜・ｉ，｜ｚn｜＝√（ｎ＋１）

として表すことができる．ｉはπ／２回転させる．

　　ｚn+1＝（１＋ｉ／√（ｎ＋１））ｚn＝Π（１＋１／√ｋ）

　　ｚn＝Π（１＋１／√ｋ），ｌ＝１〜ｎ

　　ｚn＝Π（１＋１／√ｋ）／（１＋１／√（ｎ＋ｋ））

　ここで，

　　Ｔ（ｘ）＝Π（１＋１／√ｋ）／（１＋１／√（ｘ＋ｋ）），ｌ＝１〜∞を定義してと，ｌｎＴ（ｘ）を微分すると，結局

　　Ｔ（ｘ）＝√（ｘ＋１）ｅｘｐ（ｉθ）

　　｜Ｔ（ｘ）｜＝√（ｘ＋１）

　　ｒ＝√（ｘ＋１）

より，漸近的に

　　θ〜２√（ｘ＋１）＋Ｋ

　　ｒ〜１／２θ−１／２ｋ

となって，アルキメデスのらせん（ｒ＝ａ＋ｂθ）に近づいていくことがわかる．

　対数らせん（ｒ＝ａｅｘｐ（ｂθ）ではないのである．なお，テオドロスのらせんがｘ軸との交点の傾きは

　　Ｔ’（０）＝１／２＋ｉ／２Σ１／（ｋ＋１）√ｋ

より，

　　Ｔ＝Σ１／（ｋ＋１）√ｋ＝１．８６・・・

となる．

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