【３】ガウスの整数環（１）

ガウスの整数

Ｚ［ｉ］＝｛ｍ＋ｎｉ｜ｍ，ｎは整数｝

には，±１，±ｉの４個の単数があります．ガウス整数は正方形の対称性をもつ正方格子をなします．単数を除いて，素因数分解の一意性が成立します．４ｋ＋３型素数はＺにおいても素数ですが，２と４ｋ＋１型の素数はＺで因数分解できます．４で割って1余る素数は，複素数（ガウスの整数環）に範囲を広げると素数であり続けることはできず，分解されてしまうのです．

　　２＝（１＋ｉ）（１−ｉ）＝ｉ（１−ｉ）^2

　　５＝（２＋ｉ）（２−ｉ）

　　１３＝（２＋３ｉ）（２−３ｉ）

　　１７＝（４＋ｉ）（４−ｉ）

２９＝（５＋２ｉ）（５−２ｉ）

２および４ｋ＋１型素数はガウス素数の積に分解されます．４ｋ＋１型の素数は

　　ｐ＝ａ^2＋ｂ^2＝（ａ＋ｂｉ）（ａ−ｂｉ）

と分解されるので素数ではなくなるというわけです．

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【１】アイゼンシュタインの整数環（１）

アイゼンスタインの整数

Ｚ［ω］＝｛ｍ＋ｎω｜ｍ，ｎは整数｝，ω＝（−１＋√−３）／２

には，６つの単数

　　±１，±ω，±ω^2

があり，正六角形の対称性をもつ三角格子をなします．単数を除いて，素因数分解の一意性が成立します．

２と６ｋ＋５型素数はＺ［ω］においても素数ですが，３と６ｋ＋１型の素数はＺで因数分解できます．

　　３＝（１−ω）（１−ω^2）＝（１＋ω）（１−ω）^2＝（１−ω）（２＋ω）

　　７＝（２−ω）（２−ω^2）

　　１３＝（３−ω）（３−ω^2）

　　１９＝（３−２ω）（３−２ω^2）

３７＝（４−３ω）（４−３ω^2）＝（４−３ω）（７＋３ω）

　　１７２９＝７・１３・１９

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これらのことからｐｋ+1型素数はガウス素数・アイゼンシュタイン素数の拡張物の積に分解できるのではないか？

という予想に到達する。本当だろうか？

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a0,a1,・・・,ap-2を整数

ζ=exp(2πi/p),pは奇素数とするとき

a0+a1ζ+a1ζ^2+・・・+ap-2ζ^p-2

の形の複素数を円分整数Ｚ[ζ]といい、Ｚ[ζ]を含む最小の体を円分体Ｑ[ζ]という。

ap-1ζ^p-1が入っていないのは

ζ^p-1=-(1+ζ+ζ^2+・・・+ζ^p-2)と書けることから、ζ^p-1は消去可能で、結果的に同じ集合が得られることになるからである。

一意性が成り立つためにはap-1ζ^p-1が入っていないほうが都合がよいのである。

Ｚ[i]やＺ[ω]のように、素因数分解の一意性が成り立てばフェルマー予想の証明に活用できることから、さらに都合はよいのであるが、そうは問屋が卸さなかった

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