ｍ層目の鋭角の内角を求めてみると

[1]正三角形

180/3

[2]正方形

180/4

180/4→sin180/4・3に等しい

[3]正五角形

180/5

180/5・2

[4]正六角形

180/6

180/6・3

180/6→sin180/6・5に等しい

[5]正七角形

180/7

180/7・3

180/7・2

[6]正八角形

180/8

180/8・3

180/8・3→sin180/8・5に等しい

180/8→sin180/8・7に等しい

[7]正九角形

180/9

180/9・3

180/9・4

180/9・2

[8]正十角形

180/10

180/10・3

180/10・5

180/10・3→sin180/10・7に等しい

180/10→sin180/10・9に等しい

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正弦の和公式を調べてみると

r=1からnまでの2乗和は、

Σ(sinrx)^2=n/2-cos(n+1)xsin(nx)/2sinx

とある.

ｎが奇数n=2m+1のとき、r=1から[n/2]=mまで、x=π/nとして、

Σ(sinrx)^2={(2m+1)sin(π/n)-sin(2m+1)(π/n)}/4sin(π/n)

={nsin(π/n)-sinπ)}/4sin(π/n)=n/4

4Σ(sinrx)^2=n

ｎが偶数n=2mのとき、x=π/nとして、r=1からn-1まで足して、

x=2π/nとして、r=1からm-1まで足して、差をとればよい。

Σ(sinrx)^2={(2n-1)sin(π/n)-sin(2n-1)(π/n)}/4sin(π/n)=(2n-1)/4+sin(π/n)/4sin(π/n)

Σ(sinrx)^2={(2m-1)sin(2π/n)-sin(2m-1)(2π/n)}/4sin(2π/n)=(2m-1)/4+sin（2π/n)/4sin(2π/n)

差は2m/4であるから

4Σ(sinrx)^2=n

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