円：∫1/(1-x^2)^(1/2)dxの場合は省略して，周長が

　　∫1/(1-x)^(1/2)dx

で表される曲線（カージオイド）のｎ等分問題について考えてみます．

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【１】初等関数の積分

　∫1/(1-x)^(1/2)dx=-2(1-x^)^(1/2)+C

　　∫(0,1)1/(1-x)^(1/2)dx=2

より，ｎ等分点は

　　-2(1-x)^(1/2)+2=2/n

　　x=1-(1-1/n)^2=(2n-1)/n^2=c

で与えられる．

　したがって，カージオイドは尖点を中心とする円を使って任意等分できる曲線で，２等分点，３等分点，５等分点に対応するカージオイド曲線上の点は以下の如くである．

　　　　　　　　　　ｃ　　　　　（ｘ，ｙ）

　　ｎ＝２　→　3/4 　→　(0.375,0.6495193)

　　ｎ＝３　→　5/9 　　　→　(0.0617284,0.552115)

　　ｎ＝５　→　9/25 　→　(-0.1008,0.3456)

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【２】∫1/(1-x^5)^(1/2)dxの場合

　オイラーは円からの類推を用いて，

　　1/(1-t^3)^(1/2)

　　1/(1-t^4)^(1/2)

　　1/(1-t^6)^(1/2)

に対する一般積分を見いだしているのであるが，

　　1/(1-t^5)^(1/2)

に対しては結果が得られなかったようだ．

　　∫1/(1-x^3)^(1/2)dx

は，変数変換

　　ｘ＝１／ｚ，ｄｘ＝−ｚ^(-2)ｄｚ

により

　　∫(x,∞)1/(z^4-z)^(1/2)dz

となるが，

　　∫1/(1-x^5)^(1/2)dx

はｘ＝１／√ｚと変数変換してもｘ＝１／ｚと変数変換しても，楕円積分は得られない，

　これまで調べた曲線では

［１］任意等分可能・・・・・・カージオイド

［２］２^mΠｐi 等分可能・・・円，レムニスケート

［３］２^m等分可能・・・・・・ｒ^3/2＝ｃｏｓ（３θ／２），ｒ^3＝ｃｏｓ（３θ）

［４］２等分すら不可能・・・・ｒ^5/2＝ｃｏｓ（５θ／２），ｒ^n/2＝ｃｏｓ（ｎθ／２）　　　（ｎ≧６）

となっていたが，これらはどのように特徴づけられるのであろうか？

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【３】任意等分可能曲線

［Ｑ］定木とコンパスで弧長が任意等分できる曲線は，直線とカージオイドの他にあるか？

について，一般解は難しいようですが，ルーレット曲線の仲間で、他にもいくつもありそうです．一例としてサイクロイドもそのようです．

　ｘ＝θ−ｓｉｎθ，ｙ＝１−ｃｏｓθ

　　ｘ’＝１−ｃｏｓθ，Ｙ’＝ｓｉｎθ

　　（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2＝２ｓｉｎ（ｔ／２）

　　Ｌ（α）＝∫(0,α)（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2ｄｔ＝∫(0,α)ｓｉｎ（ｔ／２）ｄｔ＝４［１−ｃｏｓ（α／２）］・・・全長はα＝２πを代入して８．

　有理数０＜ｎ／ｍ＜１をとると

　　Ｌ（α）＝８ｎ／ｍ

となるαは

　　８ｎ／ｍ＝４［１−ｃｏｓ（α／２）］

　　ｃｏｓ（α／２）＝１−２ｎ／ｍ

　このαは一般に定木とコンパスで作図できませんが，

　　ｃｏｓα＝２ｃｏｓ^2（α／２）＝２（１−２ｎ／ｍ）^2−１

　　ｙ＝１−ｃｏｓα＝２ｎ／ｍ（１−ｎ／ｍ）

は有理数であって作図可能です．

　すなわち，サイクロイド曲線そのものが正確に描かれていれば，ｍ等分するにはｎ＝１，２，・・・，［ｍ／２］について，この式で与えられるｙの値ａnを作図して直線ｙ＝ａnとの交点を求めればよいわけでです．これは定木とコンパスだけで任意のｍについて可能です．

　特例としてｍ＝３ならサイクロイドの高さ２に対して１６／９すなわち高さの比が８／９の位置の点をとればよいことになります．ｍ＝４なら中央の点と高さ２に対して３／２つまり高さの比が３／４の位置の点をとる（ｍ＝４のときはα＝２π／３，π，４π／３に相当する位置）などです．

　以上は一例であり，他にも内サイクロイドや外サイクロイド

　　ｘ＝ａｃｏｓθ−ｃｏｓ（ａ＋１）θ

　　ｙ＝ａｓｉｎθ−ｓｉｎ（ａ＋１）θ

　　ａは固定円の半径，回転円の半径１

など多数ありそうです．内サイクロイドや外サイクロイドは，固定円の同心円で任意等分できますから，カージオイドは２通りの方法で任意等分可能ということになる．

［１］任意等分可能・・・・・・直線，カージオイド，サイクロイド族

［２］２^mΠｐi 等分可能・・・円，レムニスケート

［３］２^m等分可能・・・・・・ｒ^3/2＝ｃｏｓ（３θ／２），ｒ^3＝ｃｏｓ（３θ）

［４］２等分すら不可能・・・・ｒ^5/2＝ｃｏｓ（５θ／２），ｒ^n/2＝ｃｏｓ（ｎθ／２）　　　（ｎ≧６）

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