∫1/(1-x^2)^(1/2)dx

は円（２次曲線），

　　∫1/(1-x^4)^(1/2)dx

はレムニスケート（４次曲線）に対応していますが，周長が

　　∫1/(1-x^3)^(1/2)dx

で表される曲線はどのようなものになるでしょうか？

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【１】変形バラ曲線

　より一般に，「周長が

　　∫1/(1-x^n)^(1/2)dx

で表される曲線は

　　ｒ^(n/2)＝ｃｏｓ（ｎ／２・θ）

である．」

（証）

　　{1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)=1/(1-r^n)^(1/2)

　　rdθ/dr=(r^n/(1-r^n))^(1/2)

　　dθ/dr=(r^n-2/(1-r^n))^(1/2)

　　dr/dθ=((1-r^n)/r^n-2)^(1/2)

　一方，

　　ｒ^(n/2)＝ｃｏｓ（ｎ／２θ）

　　n/2･ｒ^(n/2-1)dr/dθ＝n/2･ｓｉｎ（ｎ／２θ）

　　ｒ^(n/2-1)dr/dθ＝ｓｉｎ（ｎ／２θ）

　　dr/dθ＝ｓｉｎ（ｎ／２θ）／ｒ^(n/2-1)=((1-r^n)/r^n-2)^(1/2)

　この曲線はバラ曲線（正葉曲線）の変形版になっている．円（ｎ＝２）もレムニスケート（ｎ＝４）もこの曲線族に属する．ｎ＝１の場合，曲線

　　ｒ^(1/2)＝ｃｏｓ（１／２・θ）

　　ｒ＝ｃｏｓ^2（１／２・θ）＝（１＋ｃｏｓθ）／２

はカージオイドとなる．

　なお，ｎが奇数とき４ｎ次代数曲線，ｎが偶数のときｎ次代数曲線になることが示される．

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【２】弧長積分

　　f(x)=1/(1-x^2)^(1/2)

のとき，

　　sin^(-1)z=∫(0,z)f(x)dx

であるから，

　　2∫(0,1)f(x)dx=3.141592･･･=π

　　∫(0,1)f(x)dx=π/2

となる．それでは，

　　f(x)=1/(1-x^4)^(1/2)

としたとき，

　　∫(0,1)f(x)dx=1.311028･･･=ω/2

は，どのようにすれば得られるのでしょうか？

　ベータ関数において，a=m/n,b=1/2とおき，t=x^nと置換すると，

　　∫(0,1)x^(m-1)/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ（m/n）√π／nΓ（m/n+1/2）

したがって，

　(m,n)=(1,1)のとき，∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２

　(m,n)=(1,2)のとき，∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２

　(m,n)=(1,3)のとき，∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π

　(m,n)=(1,4)のとき，∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

が得られます．

　　∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２

　　∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２

は初等的にも得ることができます．一方，

　　∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π

　　∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

は，特別な数と楕円積分を関係づけるものになっています．

　なお，

　　∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π

を得るには，ガンマ関数の乗法公式（倍数公式）

　　Γ（x/2）Γ（(x+1)/2）＝π^(1/2)Γ（x）／２^(x-1)

と相反公式（相補公式）

　　Γ（x）Γ（1-x）＝π／ｓｉｎπｘ

また，

　　∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

を得るには乗法公式を用いています．

［１］ｎ＝１：Γ（1）√π／Γ（3/2）＝２

［２］ｎ＝２：Γ（1/2）√π／２Γ（1）＝π／２＝１．５７０８

［３］ｎ＝３：Γ（1/3）√π／３Γ（5/6）＝１．４０２１８

［４］ｎ＝４：Γ（1/4）√π／４Γ（3/4）＝１．３１１０３

［５］ｎ＝５：Γ（1/5）√π／５Γ（7/10）＝１．２５３７３

［６］ｎ＝６：Γ（1/6）√π／６Γ（2/3）＝１．２１４３３

［７］ｎ→∞のとき，

　　∫(0,1)1/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ（1/n）Γ（1/2）／nΓ（1/n+1/2）→Γ（1/n）／ｎ＝Γ（1+1/n）→Γ（1）＝１

この結果は図形的に考察すれば明らかである．

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【３】第１種楕円積分の標準形への還元

　積分

　　Ｉ＝∫(c,1)ｄｘ／（１−ｘ^3）^1/2

を考える．変換

　　ｙ＝（λｘ＋μ）／（νｘ＋ρ），ｘ＝（−ρｙ＋μ）／（νｙ−λ）

を適当に選ぶことにより，常に

　　ｄｙ／（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）^1/2

の形に還元できる．

　　λ＝−１，μ＝１−√３，ν＝１，ρ＝−１＋√３

　ｘ＝ｃに対するｙの値を

　　ｙ1＝（ｃ−１＋√３）／（−ｃ＋１＋√３）

とおくと

　　Ｉ＝１／4√３∫(y1,1)２ｄｙ／（（１−ｙ^2）（２−√３＋（２＋√３）ｙ^2）^1/2

　ここで，ｙ^2＝１−ｚ^2，ｚ1^2＝１−ｙ1^2とおくと第１種楕円

　　Ｉ＝１／4√３∫(0,z1)ｄｚ／（（１−ｚ^2)（１−ｋ^2ｚ^2）^1/2＝１／4√３Ｆ（ｋ，φ1）

となる．ただし，

　　ｋ＝（√２＋√６）／４，ｋ^2＝（２＋√３）／４

　　φ1＝ａｒｃｃｏｓ（（ｃ−１＋√３）／（−ｃ＋１＋√３））＝ａｒｃｓｉｎ（（１−ｙ1^2）^1/2）

　　ｓｉｎφ1＝ｚ1，ｚ1＝（１−ｙ1^2）^1/2

　　ｃ＝１→ｚ1＝０

　　ｃ＝０→ｚ1＝（４√３−６）^1/2＝α

　ところで，第１種楕円積分の標準形

F(k,x)=∫(0,x)1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)f(x)dx

については加法公式が使える．これで，この曲線の弧長を求める問題は，加法公式

　　ｚ＝｛ｘ（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）^1/2＋ｙ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2｝／（１−ｎｘ^2ｙ^2）

　　ｍ＝−（１＋ｋ^2），ｎ＝ｋ^2，α＝（４√３−６）^1/2

の問題に還元されたことになる．

　倍角公式

　　ｘ’＝２ｘｙ／（１−ｎｘ^4）＝２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）

より，２等分点に対応する楕円曲線上の点

　　２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）＝α

の解をｘ＝βとすると，

　　１−（（ｃ−１＋√３）／（−ｃ＋１＋√３））^2＝β^2

　　ｃ＝√３＋１−２√３／（（１−β^2）^1/2＋１）

がこの曲線の２等分点である．

　　２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）＝α

を求めたところ，解析解

　　ｘ＝−１＋√３

が得られた．

したがって，２等分点は

　　ｃ＝√３＋１−（２√３＋３）（１−√（２√３−３）＝０，６７１６１８（→作図可能）．４等分点，８等分点も同様に計算することができる．

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