２定点（−ａ，０），（ａ，０）からの距離の和が一定となる点の軌跡は楕円，差が一定の点の軌跡は双曲線です．また，商が一定の点は円（アポロニウスの円）を描きます．それでは積が一定の点はどのよう軌跡を描くでしょうか．

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　平面上の２点Ｐ1（ａ，０），Ｐ2（−ａ，０）に対して

　　Ｐ1Ｍ・Ｐ2Ｍ＝（一定）

を満たす点Ｍ（ｘ，ｙ）の軌跡を考える．

　　｛（ｘ−ａ）^2＋ｙ^2｝｛（ｘ＋ａ）^2＋ｙ^2｝＝ｃ^2

　　｛ｘ^2＋ｙ^2＋ａ^2−２ａｘ｝｛ｘ^2＋ｙ^2＋ａ^2＋２ａｘ｝＝ｃ^2

　　｛ｘ^2＋ｙ^2＋ａ^2｝^2−４ａ^2ｘ^2＝ｃ^2

　　｛ｘ^2＋ｙ^2｝^2＋２ａ^2｛ｘ^2＋ｙ^2｝＋ａ^4−４ａ^2ｘ^2＝ｃ^2

　　｛ｘ^2＋ｙ^2｝^2−２ａ^2｛ｘ^2−ｙ^2｝＋ａ^4＝ｃ^2

　ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2，ｘ＝ｒｃｏｓθを代入すると

　　ｒ^4−２ａ^2ｒ^2ｃｏｓ２θ＋ａ^4＝ｃ^2

　ｃ＝ａ^2のとき

　　ｒ^2＝２ａ^2ｃｏｓ２θ

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<　すなわち，定数ｃが２定点間の距離の半分ａの２乗に等しいとき，レムニスケート（双葉曲線）と呼ばれます．レムニスケートは８の字形（８を９０°回転させ横向きにした∞形）をしていて，その直交座標系での方程式は４次曲線（ｘ^2＋ｙ^2）^2＝２ａ^2（ｘ^2−ｙ^2），極座標系ではｒ^2＝２ａ^2ｃｏｓ２θとなります．

　したがって，極座標による式のほうが，直交座標による式よりかるかに簡単です．極座標はベルヌーイの時代より前にもときどき使われていたのですが，極座標を広範囲に使用し，多くの曲線に適用してさまざまな性質を最初に見つけたのは，ヤコブ・ベルヌーイでした．

　さらに，ａ＝１／√２とおくと，レムニスケートの弧長Ｌは

　　Ｌ＝∫(0,r)dr/{1ｰr^4}^(1/2)

となります．

　このようにして，ベルヌーイはレムニスケートの弧長を

　 f(x)=1/(1-x^4)^(1/2)

　 u=F(z)=integral(0-z)f(x)dx

と表しました．これがレムニスケート積分と呼ばれる典型的な楕円積分です．ただし，レムニスケート積分が第１種楕円積分なのに対し，楕円弧長を求める積分は第２種楕円積分であり，パラレルな関係にはありません．

　F(z)の逆関数であるレムニスケートサインsl(u)を求めてみることにしましょう．実際に1/(1-x^4)^(1/2)を２項展開し，さらに項別積分すると

　 F(z)=z+1/10z5+1/24z9+5/208z16+･･･

この逆関数のべき級数展開は

　 sl(u)=u-1/10u5+1/120u9+11/15600u13+･･･

　　　=u(1-1/10u4+1/120u8+･･･)

　　　=ug(u4)

となります．

　また，

　 ∫(0,1)f(x)dx=1.311028･･･=ω

とおくことにしましょう．4ωがレムニスケートの全長です．すなわち，レムニスケートサインは周期4ωをもつことがわかります．円に類比すると，レムニスケートの定数ωは円に対するπと同じ役割を演じていることになります．さらにまた，レムニスケートには円に共通する性質があり，定規とコンパスだけで奇数のｎ等分することができる必要十分条件はｎがフェルマー素数（ｎ＝２2^m＋１の形の素数：３，５，１７，２５７，６５５３７）であることです．

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