レムニスケート弧長のｎ等分点を求めるには，sl(nu)=1として方程式を解いてsl(u)の値を求めることになるのだが，sl(nu),n≧3をsl(u)の関数として表すことは大層複雑であって，よほど筆算が好きな計算マニアであっても，この計算は到底太刀打ちできないであろう．

　おそらくファニャーノもレムニスケート弧長の３等分あるいは５等分を与える代数方程式を導いただけで，解を示すことはできなかったと思われるのであるが，漸化式を用いるうまい方法がある．

　結論だけを示すと，３等分点は

　　sl(u/3)=1/2(1-(√2)(3)^1/4+√3)=0.435421

で与えられる（→作図可能）．

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【１】漸化式を用いたレムニスケートサインのｎ倍角公式

　　sl(2u)=2sl(u)sl'(u)/(1+sl^4(u))

　　sl(3u)=2sl(u){3-6sl^4(u)-sl^8(u)}/(1+6sl^4(u)-3sl^8(u)}

ｎが奇数のとき

　　sl(nu)=sl(u)Ｐn(sl^4(u))／Ｑn(sl^4(u))

ｎが偶数のとき

　　sl(nu)=sl(u)sl'(u)Ｐn(sl^4(u))／Ｑn(sl^4(u))

　　sl'(u)=(1-sl^4(u))^1/2

Ｑn(0)=1とおくことができる．

　ここで，

［１］ｎが偶数のとき，漸化式

Ｑn+1(x)=Ｑn-1(x)｛Ｑn^2(x)＋ｘ（１−ｘ）Ｐn^2(x)｝

Ｐn+1(x)=２（１−ｘ）Ｐn(x)Ｑn(x)Ｑn-1(x)−Ｐn-1(x)｛Ｑn^2(x)＋ｘ（１−ｘ）Ｐn^2(x)｝

［２］ｎが奇数のとき，（１−ｘ）が消え，漸化式

Ｑn+1(x)=Ｑn-1(x)｛Ｑn^2(x)＋ｘＰn^2(x)｝

Ｐn+1(x)=２Ｐn(x)Ｑn(x)Ｑn-1(x)−Ｐn-1(x)｛Ｑn^2(x)＋ｘＰn^2(x)｝

が成り立つ．

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