フラクタル構造はいたるところで微分不可能な連続曲線という病理的な性質をもっている．今回のコラムでは導関数をもたない連続関数について考察する．

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【２】カントルのミドル・サード集合

　実数ｔ（０≦ｔ≦１）は３進表現

　　ｔ＝ａ0／３＋ａ1／３^2＋・・・＋ａn／３^n+1＋・・・

をもつが，カントルのミドル・サード集合Γはａnが０または２のみをとる実数ｔの集合として定義してよい．

　したがって，

　　Γ＝｛ｔ｜ｔ＝２ａ0／３＋２ａ1／３^2＋・・・＋２ａn／３^n+1＋・・・＝Σ(0,∞)２ａn／３^n+1：ただし，ａnは０または１のみをとる｝

（２進表現）と等価である．

　　　ｆ（ｔ）＝０　　　　　　（０≦ｔ≦１／３）

　　　ｆ（ｔ）＝３ｔ−１　　　（１／３≦ｔ≦２／３）

　　　ｆ（ｔ）＝１　　　　　　（２／３≦ｔ≦１）

この定義をすべての実数ｔに拡張して，ｆ（ｔ）は周期２の周期的偶関数とする．

　　ｆ（−ｔ）＝ｆ（ｔ），ｆ（ｔ＋２）＝ｆ（ｔ）

　ｔがΓに含まれるとき，この関数の重要な性質はΓ上で恒等式

　　ｔ＝Σ(0,∞)２ｆ（３^nｔ）／３^n+1

　　ａn＝ｆ（３^nｔ）＝０または１

が成り立つことである．

　このことを用いると，ｔ（０≦ｔ≦１）をΓに制限してもペアノ曲線が正方形や立方体を覆うことができるいたるところで微分不可能な連続曲線であることが証明されるのである．

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